Finanzmathematik für Controller / 3.3 Rentenendwert

(1) Problem und Lösung

Rentenendwert

Bekannt ist die Renten-Zahlungsreihe, die aus n nachschüssigen Zahlungen der Höhe g besteht. Gesucht ist der spätere Wert Kn der Rente beim Zinssatz i.

Lösung:

Abb. 23: Endwert einer Zahlungsreihe

Wenn man die Rentenzahlungen jeweils einzeln aufzinst und die einzelnen Rentenendwerte addiert, erhält man den Endwert der gesamten Renten-Zahlungsreihe. Schreibt man zuerst das n-te, sodann das zweitletzte, drittletzte usw. Glied, so ergibt sich der Ausdruck:

(21)	Kn = g + g(1+i) + g(1+i)2 + ... + g(1+i)n-1

Zur Ermittlung von Kn kann also die Summenformel (4) für geometrische Reihen genutzt werden, und es ergibt sich:

Endwertfaktor

Der Faktor (1) heißt Endwertfaktor (EWF), Rentenendwertfaktor oder Aufzinsungssum-menfaktor. Er gestattet die Bestimmung jener einmaligen Zahlung zum Zeitpunkt n, die einer Zahlungsreihe mit gleichbleibenden Zahlungen pro Periode bei einem Zinssatz von i wirtschaftlich gleichwertig (äquivalent) ist. Er ist im Tabellenanhang zu finden, wo auch seine alternative Schreibweise mit (1+i) = q notiert ist: EWF = (2).

(2) Endwert jährlicher Renten

Praxis-Beispiel

Ein Sparer hat sich verpflichtet, acht Jahre lang am 31.12. den Betrag von 1.500 Euro auf sein Sparkonto einzuzahlen. Seine Bank gewährt ihm 6% Zinsen. Wie viel kann der Sparer nach acht Jahren abheben?

Lösung:

Kn	=	g x EWF8
Kn	=	1.500 x 9,897468
Kn	=	14.846 (Euro)

Abb. 24: Endwert einer Zahlungsreihe

Ergebnis:

Der Sparer kann nach 8 Jahren 14.846 Euro abheben.

(3) Endwert unterjährlicher Renten

Unterjährige Rentenperioden

Wenn die Rentenperiode kürzer als ein Jahr, also unterjährig ist, bleibt die Rentenendwertformel (22) unverändert anwendbar. Sie errechnet den Endwert einer Rente, welche über n Perioden läuft. Die Perioden können Jahre oder Jahresbruchteile (Halbjahre, Vierteljahre, Monate, Wochen usw.) sein. Wichtig ist, dass bei unterjährigen Rentenperioden der entsprechende Zinssatz (z. B. Monatszinssatz) verwendet wird. Dabei kann es hilfreich sein, einen vorgegebenen Jahreszinssatz mit Hilfe der Zinsumrechnungsformel (13) in den zu ihm gehörenden Zinssatz der unterjährigen Periode umzuwandeln.

Praxis-Beispiel

Ein 80-jähriger Raucher erfährt, dass seine statistische Restlebenserwartung als Nichtraucher noch 7 Jahre und als Raucher noch 4 Jahre beträgt. Er beschließt, das Rauchen aufzugeben und die monatliche Minderauszahlung von 300 Euro jeweils am Monatsende auf sein Konto einzuzahlen, wo sie mit 6,17 % pro Jahr verzinst wird.

Man zeige, dass zum Jahreszinssatz von r = 6,17 % der Monatszinssatz von rv = 0,5 % gehört. Man errechne den Endwert der Zahlungsreihe. Wie erhält man bei gegebenem Endwert den Barwert? Wie kann man den Barwert noch ausrechnen?

Lösung:

Kn	=	g x EWF72
Kn	=	300 x 86,408856
Kn	=	25.923 (Euro)

K0	=	Kn x AbF72
K0	=	25.923 x 0,698302
K0	=	18.102 (Euro)

K0	=	g x DSF72
K0	=	300 x 60,339514
K0	=	18.102 (Euro)

Abb. 25: Endwert und Barwert einer Zahlungsreihe

Ergebnis:

Der Endwert des Verzichtes auf den blauen Dunst beläuft sich auf 25.923 Euro. Bei gegebenem Endwert erhalten Sie den zugehörigen Barwert, indem Sie den Endwert mit dem Abzinsungsfaktor (AbF) multiplizieren, bei gegebener Zahlungsreihe, indem Sie diese mit dem Diskontierungssummenfaktor (DSF) kapitalisieren.

(4) Endwert vorschüssiger Renten

Vorschüssige Zahlungsweise

Der Endwert einer vorschüssigen Rente wird mit Hilfe des Endwertfaktors (EWF) und des Aufzinsungsfaktors (AuF) errechnet. Der folgende Zeitstrahl zeigt die Rente mit der vorschüssigen Zahlung von g über n Perioden. Gesucht ist der zu dieser Rente gehörende Endwert Kn beim Zinssatz i pro Periode.

Symbole:

Kn	=	Endwert zum Zeitpunkt n
n	=	Anzahl der Perioden
g	=	Geldbetrag pro Periode
i	=	Zinssatz in Dezimalform
EWF	=	Endwertfaktor
AuF	=	Aufzinsungsfaktor

Lösung:

Abb. 26: Endwert einer vorschüssigen Zahlungsreihe

(23)

Praxis-Beispiel

Ein Berufseinsteiger hat eine Lebensversicherung abgeschlossen. Die Laufzeit beträgt 25 Jahre. Die Prämie von 1.000 Euro wird halbjährlich im Voraus erhoben. Die Versicherungssumme soll im Erlebensfall am Ende des 25. Jahres ausgezahlt werden. Wie hoch ist die Auszahlungssumme, wenn die Versicherungsgesellschaft netto, d. h. nach Berücksichtigung des Sterblichkeitsrisikos und ihrer Verwaltungskosten, einen Zinssatz von 3% p. Hj. für die Anlage ihrer Geldmittel erzielt?

Lösung:

Abb. 27:  Endwert einer vorschüssigen Zahlungsreihe

K50 = g x EWF50 x AuF1

K50 = 1.000 x 112,796567 x 1,03

K50 = 116.180 (Euro)

Ergebnis:

Die Auszahlung im Erlebensfall beträgt 116.180 Euro.