Stochastische Abweichungsanalyse mit Predictive Analytics / 4 Vertrauensintervalle zur Validierung einsetzen

Ist diese Berechnung adäquat? Formal ist die Kalkulation nicht zu beanstanden. Doch die Abhängigkeiten zwischen Preis und Absatz sowie Marketing und Absatz sind nur stochastischer Natur. Der wirkliche Preis-Effekt könnte 1.078 EUR (Abb. 6, Zelle B2) betragen, aber auch vollkommen anders sein.

Ein Lösungsansatz besteht nun darin, die Qualitätsgüte der Beziehung zu berücksichtigen und diese bei der Kalkulation von Kennzahlen, wie z. B. dem Deckungsbeitrag, mit auszuweisen. Auswirkungen von Treiberänderungen und die Qualität der Beziehungen zu den Erfolgskomponenten interessieren gleichermaßen.

Um die Qualität messen zu können, liefert die Statistik vielfältige Informationen. Im Rahmen der Regression bieten Bestimmtheitsmaß, T-Test und F-Test Möglichkeiten der Qualitätseinschätzung. Eine isolierte Betrachtung des Bestimmtheitsmaßes ist allerdings problematisch, da keine Aussage über den Einfluss der Stichprobengröße auf die Qualität der Zusammenhänge möglich ist. T-Test und F-Test sind für Nichtstatistiker eher wenig verständlich.

Der Einfluss kann wie bereits beschrieben nicht exakt bestimmt werden. Hier erscheint es zweckmäßig, Konfidenzen, wie aus der Schätztheorie bekannt, auszuweisen. Für gewöhnlich werden diese Intervalle in Prozent angegeben: Mit einer Wahrscheinlichkeit von x % (in der Regel 95 % oder 99 %, im weiteren Verlauf wird immer der 95 %ige Korridor verwendet) befindet sich der erwartete Wert in einem bestimmten Korridor. Der Regressionsparameter für die Marketingkosten könnte bspw. zwischen 0,03 und 0,05 bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 % schwanken. Bei einer Wahrscheinlichkeit von 99 % fällt das Intervall größer aus. Eine solche Auffassung ist allerdings idealtypisch, da eine bestimmte Verteilungskurve zugrunde gelegt wird.

Es bieten sich aus diesem Grund Vertrauens- und Schwankungsintervalle für eine weitere Analyse an:

• Das Vertrauensintervall gibt an, wie der Erwartungswert der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit schwanken kann.
• Das Schwankungsintervall gibt an, welche Werte im Rahmen einer Analyse zu erwarten sind.

Die Korridore sind ähnlich, das Schwankungsintervall ist jedoch breiter, was sich formal belegen lässt, aber den inhaltlichen Rahmen dieses Beitrages übersteigen würde. Wir sind an den möglichen Schwankungen der Regressoren interessiert, insofern wählen wir das Vertrauensintervall.

Das Vertrauensintervall ist abhängig von der Größe der Stichprobe, sowie der Anzahl der Werte, die als Grundlage der Regression herangezogen wurden. Dies wird über die Freiheitsgrade berücksichtigt. Es ist zudem zu bedenken, dass den Intervallgrenzen bestimmte Verteilungen (im Rahmen der Regression in der Regel die T-Verteilung) zugrunde liegen.

Uns interessiert allerdings nicht das Konfidenzintervall des Ergebnisses, sondern das Konfidenzintervall der Parameter. Wir wollen wissen, wie stark die Regressionsparameter schwanken können. Eine Möglichkeit besteht darin, die Vertrauensintervalle der Parameter zu verwenden. Über die R-Funktion "confint()" werden diese ausgegeben. Hierzu wird die Konfidenzwahrscheinlichkeit von 95 % eingegeben.

Hinweis

Konfidenzintervall normal bei 95 %

Konfidenzintervalle werden in der Regel auf 95 % taxiert. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der Parameter in diesem Korridor. Bei einer zweiseitigen Betrachtung der Verteilungsfunktion ergeben sich somit Grenzen von 2,5 % und 97,5 %.

Mit der üblichen Breite von +/-2,5 % aufgrund des zweiseitigen Tests, ergeben sich die möglichen Bandbreiten für die Regressionsparameter aus Abb. 7.

Abb. 7: Bandbreiten der Regressoren

Mittels Multiplikation mit der absoluten Abweichung und der Bewertung zum Planpreis ergibt sich der in Abb 8 gezeigte Wertekorridor für die ausgewiesenen Abweichungen (jeweils die untere und obere Grenze).

Abb. 8: Bewertete Bandbreiten

Das Ergebnis aus Abb. 8 ist allerdings etwas enttäuschend: Die Intervalle sind sehr groß.^[1] So kann die Preisabweichung von 19 EUR bis 265 EUR schwanken. Dies liegt daran, dass die Parameter in einem Risikoverbund stehen. Eine Simulation zeigt auf, dass bei Annahme dieser Schwankung das Konfidenzintervall des Ergebnisses eine deutlich weitere Spannweite besitzt. Das Konfidenzintervall der (gesamten) Regression ist erheblich schmaler, wie Abb. 9 zeigt.

Abb. 9: Konfidenzintervalle für Marketingkosten = 5.000 EUR und Preis = 30 EUR

Das Diagramm in Abb. 10 zeigt die Diskrepanz zwischen der Konfidenzintervallbreite der Zielvariablen Absatz (spitze Kurve in rot) und der simulierten Bandbreite des Absatzes aufgrund der Konfidenz der Regressionsparameter (flache Kurve in schwarz).

Abb. 10: Konfidenzintervalle für den Absatz (rot) und Simulation über die Regressionsintervalle

Ein anderer Weg kann in der Aufteilung der Bandbreite der Zielgröße (Absatz) liegen. Hier stellt sich die Frage, wie diese verteilt werden kann. Eine solche Aufteilung muss die unterschiedliche Stärke und die Qualität der Einflussfaktoren berücksichtigen.

Backhaus et al. schlagen als verbesserten Verglei...