Zinsrechnung / 4 Unterjährige Zinsrechnung

Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf Zinsberechnungen im jährlichen Bereich, d. h. die Berechnung der Zinsen erfolgte jeweils für ein ganzes Jahr. Es kann jedoch vorkommen, dass Zinsen auch im Laufe eines Jahres, beispielsweise halbjährlich, vierteljährlich, monatlich oder auch täglich verrechnet werden. Das Jahr wird dabei in Zinsperioden unterteilt, die jeweils einen Bruchteil des Jahres umfassen.

Im Rahmen der unterjährigen Zinsrechnung wird die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr mit m gekennzeichnet. Bei einer Zinsperiode von einem Tag ist m = 360 oder 365/366, bei einer Zinsperiode von einem Monat ist m = 12 usw. Der unterjährige Zinssatz wird mit j, die Laufzeit der Kapitalanlage, gemessen in Zinsperioden, mit N bezeichnet.

Die Zinsrechnung mit unterjährigen Laufzeiten kann auf zwei unterschiedlichen Wegen erfolgen. Zum einen können die Formeln der jährlichen Zinsrechnung analog angewendet werden. An die Stelle des Jahres tritt hier die Zinsperiode, die Laufzeit wird dementsprechend in Zinsperioden angegeben. Zur Ermittlung der Laufzeit N wird die folgende Gleichung verwendet, wobei n der Laufzeit in Jahren entspricht:

N = n · m

Besitzt eine Kapitalanlage beispielsweise eine Laufzeit von 5,5 Jahren und gilt als Zinsperiode das Quartal ergibt sich eine Laufzeit von N = 4 · n = 22,0 Quartalen. Mit Hilfe dieser Gleichung können die Formeln der jährlichen Zinsrechnung analog verwendet werden. Zu beachten ist, dass an die Stelle von n in der Ausgangsgleichung N und an die Stelle des jährlichen Zinssatzes i der unterjährige Zinssatz j tritt. Daraus ergibt sich für die einfache unterjährige Verzinsung zur Berechnung des Endkapitals KN die folgende Formel:

KN = K0 · (1 + N · j)

Zur Berechnung des Anfangskapitals K0, des Zinssatzes j oder der Laufzeit N muss die Gleichung (analog zur jährlichen Zinsrechnung) umgestellt werden.

Bei unterjähriger Verzinsung mit Zinseszins kann ebenfalls die Gleichung der jährlichen Zinseszinsrechnung analog verwendet werden, wenn die obige Substitution berücksichtigt wird. Es ergibt sich demnach zur Berechnung des Endkapitals KN:

KN = K0 · (1 + j)^N

Praxis-Beispiel

Unterjährige Zinsrechnung

1. Ein Anfangskapital von 5.000 EUR kann zu einem Zinssatz von 2 % je Quartal angelegt werden. Welcher Endbetrag ist nach 5 Jahren und 3 Monaten bei einfacher Verzinsung erreicht?

   n =	5 + 3/12 = 5,25
   N =	4 · 5,25 = 21
   KN =	K0 · (1 + N · j)
   =	5.000 EUR · (1 + 21 · 0,02)
   =	7.100 EUR

2. Welcher Betrag wird bei sonst gleichen Bedingungen wie in Beispiel 1 bei Zinseszinsrechnung erzielt?

   KN =	K0 (1+j)N
   =	5.000 EUR · (1 + 0,02)21
   =	7.578,33 EUR

Eine weitere Möglichkeit zur Rechnung mit unterjähriger Verzinsung besteht darin, die Laufzeit weiterhin in Jahren zu messen und lediglich die unterjährigen Zinssätze anzupassen. Eine Laufzeitangabe in Monaten muss dementsprechend in Jahre umgerechnet werden, Entsprechendes gilt bei einer Angabe in Tagen. Beispielsweise entspricht eine Laufzeit von 9 Monaten 0,75 Jahre. Die unterjährigen Zinssätze müssen ebenfalls in Jahreszinssätze umgerechnet werden. Dabei ist zu unterscheiden, ob mit einfacher Verzinsung gerechnet oder eine Zinseszinsrechnung vorgenommen wird. Von Bedeutung für die einfache Zinsrechnung ist der nominelle Zinssatz und für die Zinseszinsrechnung der konforme Zinssatz:

• relativer Zinssatz j: Der relative Zinssatz entspricht dem unterjährigen Zinssatz.

• nomineller Zinssatz i: Der nominelle Zinssatz entspricht dem auf ein Jahr bezogenen relativen Zinssatz bei einfacher Verzinsung.

  i =

  m · j

• konformer Zinssatz i^*: Der konforme Zinssatz entspricht dem auf ein Jahr bezogenen relativen Zinssatz bei Zinseszinsrechnung.

  i* =	(1 + j)m- 1

Praxis-Beispiel

Analoge Anwendung der Formeln

1. Es soll wiederum ein Anfangskapital in Höhe von 5.000 EUR zu einem Zinssatz von 2% pro Quartal angelegt werden. Gesucht ist der Endbetrag nach 5 Jahren und 3 Monaten bei einfacher Zinsrechnung.

   Gegeben ist der relative Zinssatz j = 0,02 und die Laufzeit i = 5 + 3/12 = 5,25 Jahre. Der nominelle Zinssatz beträgt

   i =	m · j = 4 · 0,02 = 0,08
   Kn =	K0 · (1 + i · n)
   =	5.000 EUR · (1 + 0,08 · 5,25)
   =	7.100 EUR

2. Der gleiche Kapitalbetrag soll nun ebenfalls mit einem Zinssatz von 2 % pro Quartal für 5 Jahre und 3 Monate angelegt werden. Gesucht ist der Endbetrag bei Zinseszinsrechnung.

   Zunächst muss der konforme Zinssatz i^* berechnet werden:

   i* =	(1 + j)m-1 = (1 + 0,02)4 –1 = 0,0824
   Kn =	K0 · (1 + i*)n
   =	5.000 EUR · (1+ 0,0824) 5,25
   =	7.578,33 EUR

Die beiden Beispiele zeigen, dass die analoge Anwendung der Formeln zur jährlichen Zinsrechnung als auch die Umrechnung der Zinssätze und anschließende Anwendung der ursprünglichen Formeln zu gleichen Ergebnissen führen.

Fundstellen

Altrogge/Günther: Finanzmathematik, 4. Auflage, München, Wien, 1999.

Bosch/Karl: Finanzmathematik, 7. Aufl., 2007.

Caprano/Eugen; Gierl/Anton: Finanzmathematik, 5. Aufl., 1992.

Kruschwitz/Lutz: Finanzmathematik, 5. Aufl., 2010.