Break-Even-Analyse: Unsicherheit und Risiko bei mehreren ... / 4 Fallbeispiele

4.1 Fall 1: Betrachtung der Monate unabhängig voneinander

Die folgenden einzelnen Szenarien berücksichtigen schrittweise komplexere Beziehungen zwischen den Eingangsgrößen. Der betrachtete Zeitraum ist jeweils 3 Monate. Für dieses und die folgenden Szenarien gehen wir von 5 Produkten aus, deren Umsätze und Kosten schwanken können (Tab. 1). Angenommen ist hier eine sog. einfache Dreiecksverteilung. Sie besteht aus einem niedrigsten, einem höchsten und einem wahrscheinlichsten Wert. Vereinfachend wird hier angenommen, die Unter- und Obergrenzen seien Vielfache des wahrscheinlichsten Werts also bspw. Untergrenze Stückpreis A = Mittelwert A * 0,85, hier 10 * 0,85 = 8,50 EUR.

Die Simulation mit 10.000 Simulationsläufen dauert nur kurz. Sie liefert eine Verteilung für die Zielgröße Betriebsergebnis in dem betrachteten Quartal. Abb. 3 zeigt das Histogramm für das Betriebsergebnis der 3 Monate. Man erkennt, dass in etwa 5 % der Fälle ein Verlust auftritt, der Erwartungswert (erwarteter Mittelwert des Betriebsergebnisses) beträgt 6.520 EUR. Der Erwartungswert der möglichen Verluste (CVaR) beläuft sich auf 1.637 EUR. Das wäre der Betrag, der beispielsweise als Eigenkapitalreserve vorgehalten werden sollte.

Ein interessantes Detail ist, dass sich die Erwartungswerte der Ergebnisse je Monat aufaddieren lassen. Die Verteilung der Werte "verschiebt" sich damit hin zu größeren Werten, so dass die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust gegenüber jedem einzelnen Monat sinkt. (Tab. 2).^[1] Hinzu kommt ein Risikoausgleich, da sich Produkte und Monate unabhängig voneinander verhalten.

Eingangsparameter: Stückpreise

Produkte	Art der Verteilung	Untergrenze (0,85)	Wahrscheinlichkeit Wert	Obergrenze (1,1)
A	Dreieck	8,50 EUR	10,00 EUR	11,00 EUR
B	Dreieck	17,00 EUR	20,00 EUR	22,00 EUR
C	Dreieck	19,13 EUR	22,50 EUR	24,75 EUR
D	Dreieck	17,00 EUR	20,00 EUR	22,00 EUR
E	Dreieck	29,75 EUR	35,00 EUR	38,50 EUR

Eingangsparameter: variable Stückkosten

Produkte	Art der Verteilung	Untergrenze (0,85)	Wahrscheinlichkeit Wert	Obergrenze (1,1)
A	Dreieck	4,75 EUR	5,00 EUR	6,00 EUR
B	Dreieck	9,50 EUR	10,00 EUR	12,00 EUR
C	Dreieck	9,50 EUR	10,00 EUR	12,00 EUR
D	Dreieck	11,40 EUR	12,00 EUR	14,40 EUR
E	Dreieck	19,00 EUR	20,00 EUR	24,00 EUR

Eingangsparameter: Absatzmengen

Produkte	Art der Verteilung	Untergrenze (0,85)	Wahrscheinlichkeit Wert	Obergrenze (1,1)
A	Dreieck	350	500	600
B	Dreieck	700	1.000	1.200
C	Dreieck	280	400	480
D	Dreieck	525	750	900
E	Dreieck	350	500	600

Tab. 1: Eingangsdaten für die Monte-Carlo-Simulation (Werte in Klammern sind die Faktoren für Erhöhung/Abnahme)

Abb. 3: Histogramm Betriebsergebnis für Fall 1 (gesamt für alle Monate)

Monate	Verlustwahrscheinlichkeit p(BE <0) ca.	Erwartungswert Betriebsergebnis
Januar	17,99 %	2.163,63 EUR
Februar	16,96 %	2.188,22 EUR
März	17,70 %	2.169,06 EUR
Gesamt	4,65 %	6.520,90 EUR
Expected Shortfall CVaR		-1.637,14 EUR
Variationskoeffizient		62 %

Tab. 2: Verlustwahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte je Monat und insgesamt im Fall 1

[1] Das gilt in diesem Fall, da die einzelnen stochastischen Größen (Preis, Stückkosten, Absatzmenge) unabhängig voneinander sind. In den weiteren Szenarien wird diese Annahme fallen gelassen. Wir gehen hier davon aus, dass die Häufigkeiten auch die wahren Wahrscheinlichkeiten widerspiegeln.

4.2 Fall 2: Abhängigkeiten der Produkte untereinander

Im 2. Fall soll die Abhängigkeit der Absatzmengen der Produkte untereinander betrachtet werden. Verkäufe von Produkte beeinflussen sich oft gegenseitig, sei es positiv (komplementäre Produkte wie Bohrmaschinen und Bohrer) oder negativ wie zum Beispiel der steigende Tablet-Computer-Verkauf und der gleichzeitig zurückgehende Notebook-Absatz. Tab. 3 listet beispielhaft die hier angenommenen Korrelationen auf. Solche Korrelationen erhält man in der Praxis primär aus Vergangenheitsdaten der Produkte.

	A	B	C	D	E
A	1,00	0,50	0,50	0,75	-0,50
B	0,50	1,00	-0,20	0,40	-0,25
C	0,50	-0,20	1,00	0,50	0,20
D	0,75	0,40	-0,50	1,00	0,00
E	-0,50	-0,25	0,20	0,00	1,00

Tab. 3: Korrelationsmatrix der Anteile der Produkte an der Gesamtabsatzmenge im Fall 2

Angenommen wird hier, dass die Abhängigkeiten der Produkte untereinander für ein Quartal gelten, sie also dauerhafter sind als die zeitlichen Schwankungen der Absatzmengen. Das erscheint auch plausibel. Das Ergebnis der Simulation zeigt Abb. 4.

Abb. 4: Histogramm Betriebsergebnis für Fall 2 (gesamt für alle Monate)

Der Erwartungswert des Betriebsergebnisses für das Quartal steigt gegenüber Fall 1 leicht auf 6.531 EUR. Die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes nimmt auf etwa 13 % zu, der conditional value at risk beträgt 2.741 EUR, ist also deutlich höher als im 2. Fall. Die korrelierten Absatzmengen "verbreitern" die Streuung der Ergebnisse, ändern aber wenig am Mittelwert.

Monate	Verlustwahrscheinlichkeit p(BE <0) ca.	Erwartungswert Betriebsergebnis
Januar	18,70 %	2.202,12 EUR
Februar	18,61 %	2.182,99 EUR
März	19,16 %	2.145,88 EUR
Gesamt	13,08 %	6.530,99 EUR
Expected Shortfall CVaR		-2.741,47 EUR
Variationskoeffizient		63 %

Tab. 4: Verlustwahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte je Monat und insgesamt im Fall 2

4.3 Fall 3: Zeitliche Abhängigkeit von Monat zu Monat

Im 1. und 2. Fall...