Finanzmathematik für Controller / 1 Reihenlehre

1.1 Arithmetische Reihe

Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge entsteht, wenn Zahlen nach einem bestimmten Gesetz aufeinander folgen. Die einzelnen Zahlen sind die Glieder der Folge.

Praxis-Beispiel

a)	2, 4, 6, 8, 10	→ endliche Folge
b)	0, 4, 8, 12, ...	→ unendliche Folge
c)	20, 15, 10, 5, 0	→ fallende Folge
d)	1, 2, 3, 4, 5	→ steigende Folge
e)	7, 7, 7, 7, 7	→ konstante Folge

Zahlenreihe

Verbindet man die Glieder einer Folge mit dem Pluszeichen, so erhält man eine Zahlenreihe oder Reihe.

Praxis-Beispiel

a)	2 + 4 + 6 + 8 + 10	→ endliche Reihe
b)	0 + 4 + 8 + 12, ...	→ unendliche Reihe
c)	20 + 15 + 10 + 5 + 0	→ fallende Reihe (negative Differenz: d = - 5)
d)	1 + 2 + 3 + 4 + 5	→ steigende Reihe (positive Differenz: d = 1)

Am Zahlenstrahl lässt sich eine Reihe mit dem ersten Glied a und der konstanten Gliederdifferenz d wie folgt darstellen:

Für das n-te Glied z gilt also:

(1)

z = a + (n – 1) x d

(Endgliedformel)

Summenformel

Für praktische Berechnungen benötigt man häufig die Summe s der Glieder der arithmetischen Reihe, die sich bei einer langen Reihe am besten durch eine Formel errechnen lässt, die der große Mathematiker Karl Friedrich Gauß (1777 – 1855) schon als Schuljunge entwickelt haben soll.

Der Lehrer wollte seine Klasse damit beschäftigen, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß meldete sich nach kurzem Überlegen und verkündete das Ergebnis 5.050. Sein Rechengang war genial einfach und einfach genial.

Abb. 1: Summe einer arithmetischen Reihe

Die Gaußsche Summenformel für arithmetische Reihen lautet:

(2)

Summenformel

(arithmetische Reihe)

a = Anfangsglied

d = Differenz

z = letztes Glied

n= Anzahl der Glieder

s = Summe der Glieder

Praxis-Beispiel

Gegeben ist die arithmetische Reihe mit a = 3, d = 2, n = 7.

Diese Reihe schreibt man zweimal untereinander, einmal vorwärts und einmal rückwärts. Dann addiert man die beiden Reihen und erhält die doppelte Summe 2s. Daraus ergibt sich durch Umformung die Summenformel.

Praxis-Beispiel

a = 7, d = 3, n = 6. Wie groß sind das letzte Glied und die Summe aller Glieder?

1.2 Endliche geometrische Reihe

Zahlenfolge durch Multiplikation

Eine Zahlenfolge oder –reihe heißt geometrisch, wenn sich jedes folgende Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor f errechnet. Wenn man ein Glied mit f multipliziert, entsteht das nächste Glied.

Praxis-Beispiel

Der typische Anwendungsfall für die Summenformel der geometrischen Reihe im Controlling ist die Zinseszinsrechnung. Wer 10. 000 Euro zum Zinssatz von 7% anlegt, sieht eine geometrische Folge vor sich:

10.000, 10.700, 11.449, 12.250,43 ...

Bezeichnet man das Anfangsglied einer geometrischen Reihe mit a, den Faktor mit f und die Anzahl der Glieder mit n, so erhält man die allgemeine Form der geometrischen Reihe:

a + a x f + a x f² + a x f³ + ... + a x f^n-1

Für das letzte oder n-te Glied z gilt also:

(3) z = a x f^n-1 Endgliedformel

Zur Ermittlung der Summenformel für geometrische Reihen schreibt man die Reihe in allgemeiner Form auf. Darunter schreibt man trickreich die gleiche Reihe, nachdem jedes Glied der oberen Reihe mit dem Faktor f multipliziert wurde. Danach subtrahiert man von der zweiten erweiterten Zeile die erste nicht erweiterte und löst nach s auf.

(4)

Summenformel geometrische Reihe

Symbole:

a = Anfangsglied

f = Faktor

z = letztes Glied

n = Anzahl der Glieder

s = Summe der Glieder

Controller-Fähigkeiten

Ein Controller wird nicht nach dem Beweis für eine bestimmte mathematische Formel gefragt. Deshalb können Sie diesen und die anderen drei Beweise dieses Beitrags so gelassen betrachten wie die TV-Werbung. Nicht der Beweis ist wichtig, sondern die Controller-Fähigkeit, für eine vorgegebene Fragestellung die richtige Formel zu finden und mit ihr sachkundig umzugehen. Und so achtet der Controller bei einem Beweis auf Start und Ziel. Start: Welches Problem liegt vor? Antwort: Errechnung der Summe der Glieder einer geometrischen Reihe. Ziel: Wie löst man das Problem? Antwort: Indem man das erste Glied mit (1 – fⁿ) : (1 – f) multipliziert.

Praxis-Beispiel

Die Brockhaus Enzyklopädie unterrichtet uns, dass Alaska 1867 für 7,2 Millionen Dollar von den USA gekauft wurde. Vorher war es im Besitz Russlands. Dem heutigen Betrachter will es scheinen, dass die Amerikaner einen äußerst vorteilhaften Kauf gemacht haben. Wir wollen offen lassen, ob 7,2 Millionen Dollar ein fairer Preis für Alaska waren, und uns fragen, über welches Kapital die Russen heute verfügen könnten, wenn sie den Kaufpreis bei einer US-Bank zu 7% Zins und Zinseszins bis zum Ende des Jahres 2000 angelegt hätten.

Lösung:

Die Endgliedformel (3) liefert uns folgendes Ergebnis:

z = a x fⁿ = 7,2 x 1,07¹³³ = 58 260 (Millionen Dollar)

Ergebnis:

Das ist gewiss nicht zu viel für das heutige Alaska, aber alles andere als ein Trinkgeld.

Praxis-Beispiel

Der Erfinder des Schachspiels sollte belohnt werden. Er erbat sich als Belohnung Getreidekörner: für das erste Feld eines, für das zweite Feld zwei, für das dritte vier usw.

a) Wie viel Körner waren das insgesamt?

b) Wie viele Tonnen hätten sich ergeben, wenn 20.000.000 Körner ei...