Finanzmathematik für Controller / 2.4 Unterjährige (unterjährliche) Verzinsung

Unterjährige Verzinsung ist Regelfall

Unterjährlich bezieht sich auf die Häufigkeit und besagt, dass es mehr als eine Zinsperiode pro Jahr gibt. Unterjährig bezieht sich auf die Dauer und besagt, dass die einzelne Zinsperiode kürzer als ein Jahr ist. Unterjährige Zahlungsweise ist in der Wirtschaftspraxis häufig: Ein Lieferantenkredit kann für Tage oder Wochen gewährt werden, Kundenanzahlungen werden Tage oder Monate vor Ablieferung des bestellten Gutes fällig. Leasingraten sind monatlich zu überweisen, Zins und Tilgung für Ratenkredite ebenso. Selbst bei der langfristigen Fremdfinanzierung, die ein Standardfall für jährliche Zahlungsweise sein könnte, ist die unterjährliche Zahlungsweise die Regel. Ein Controller, der die Kontoauszüge seines Unternehmens anschaut, wird feststellen, dass Zins und Tilgung auch für die langfristigen Darlehen monatlich abfließen. Jährliche Zahlungsweise ist heutzutage eher selten. Man findet sie beim Sparbuch und bei manchen Anleihen.

Erfolgt der Zinszuschlag nicht nur am Jahresende, sondern halbjährlich, vierteljährlich, monatlich usw., dann liegt unterjährige Verzinsung vor. Teilt man das Jahr in m Zinsperioden ein, dann erfolgt der Zinszuschlag jeweils nach 1/m Jahr. Der Quotient aus dem nominellen jährlichen Zinssatz rnom und der Anzahl m der unterjährigen Zinsperioden ergibt den effektiven Zinssatz rv der jeweiligen unterjährigen Teilperiode, die v Tage umfasst. Es gilt:

(10)

In diesem Fall lautet die Aufzinsungsformel zur Ermittlung des Endkapitals Kn

a) nach einem Jahr

K1 = K0 (1+rv)^m

b) nach n Jahren

(11)

Praxis-Beispiel

Wie hoch ist der Endwert Kn eines heutigen Geldbetrages von K0 = 100.000 Euro, wenn man mit dem nominellen Jahreszinssatz rnom = 12% rechnet, bei jährlicher, halbjährlicher, vierteljährlicher und monatlicher Verzinsung?

Lösung:

Verzinsung	Anzahl Zinsperioden	Effektivzinssatz je Zinsperiode	Endkapital
Jährlich	m = 1	rv = rnom = 0,12	K1 = 100 000 x 1,12	= 112.000,00
Halbjährlich	m = 2	rv = 0,06	K1 = 100 000 x 1,062	= 112.360,00
Vierteljährlich	m = 4	rv = 0,03	K1 = 100 000 x 1,034	= 112.551,00
Monatlich	m = 12	rv = 0,01	K1 = 100 000 x 1,0112	= 112.682,50

Abb. 10: Endwert steigt mit Zahl der Zinsperioden

Zinsperioden beeinflussen Endwert

Ergebnis:

Abbildung 10 zeigt, dass der Endwert von der Zahl der Zinsperioden abhängt. Mit steigender Zahl der Zinsperioden nimmt der Endwert unter sonst gleichen Umständen zu, weil die Zinsen bei unterjährlicher Verzinsung wieder mitverzinst werden und sich am Jahresende wegen der Zinseszinsen insgesamt höhere Zinsen ergeben als bei jährlicher Verzinsung.

Problem:

Die Abbildung zeigt aber auch, dass der jährliche Effektivzinssatz nur im ersten Fall 12% beträgt. In allen anderen Fällen, wenn es mehr als eine Zinsperiode pro Jahr gibt, ist der effektive Jahreszinssatz höher. Bei monatlicher Zinsverrechnung sind aus den ursprünglichen 12% schon 12,68% geworden. Es liegt also nahe zu fragen: Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz r, der zu einem bestimmten Teilperiodenzinssatz rv und einer bestimmten Anzahl Zinsperioden gehört. So zeigt uns Abb. 10, dass zum Teilperiodenzinssatz rv = 0,03 = 3% und m = 4 der effektive Jahreszinssatz r = 0,1255 = 12,55% gehört.

Konformer Zinssatz

Will man erreichen, dass sich bei Einführung unterjähriger Zinsperioden kein höherer Endwert ergibt als bei jährlicher Verzinsung, ist bei unterjähriger Verzinsung ein entsprechend geringerer Zinssatz zugrunde zu legen. Er muss immer etwas unter rnom : m liegen und sei als rv bezeichnet. Der Zinssatz rv hat die Eigenschaft, dass sich mit ihm genau derselbe Endwert ergibt wie mit dem Jahreszinssatz. Er heißt wegen dieser Übereinstimmung auch konformer Zinssatz. Es gilt:

Praxis-Beispiel

Ein Kreditinstitut berechnet nominal 12% Zinsen pro Jahr für den Kontokorrentkredit und stellt vierteljährlich 3% in Rechnung. Wie hoch ist der zugehörige effektive Jahreszinssatz?

Lösung:

Wichtig ist allein der effektive Vierteljahreszinssatz rv = 0,03 = 3%. Zu ihm gehört gemäß Zinsumrechnungsformel (12) folgender effektiver Jahreszinssatz:

r = (1 + rv)^m - 1

Ergebnis:

Für Sie als Bankkunde bedeutet das, dass Sie, wenn im Aushang der Bank von 12% p. J. die Rede ist, in Wirklichkeit 12,55 Prozent zu zahlen haben, sofern Ihr Konto vierteljährlich abgerechnet wird. Bei monatlicher Abrechnung wären es r = (1 + 0,01)¹² – 1 = 0,1268 = 12,68% p. J.

Praxis-Beispiel

Ein Investor verfügt über 200.000 Euro, die er für ein Jahr als Festgeld bei einer Bank anlegen möchte. Bank A bietet ihm einen nominellen Jahreszinssatz von 10 %, ebenso wie Bank B. Die Angebote unterscheiden sich aber in den Zinsterminen: Bei der A-Bank gibt es einen Zinstermin pro Jahr, bei der B-Bank werden die Zinsen halbjährlich fälIig. Man ermittelt den effektiven Jahreszins mit und ohne Zinsumrechnungsformel.

Lösung:

Abb. 11: Effektivzins bei zwei Zinsterminen

Ergebnis:

Die Einteilung des Jahres in m = 2 Zinsperioden lässt den effektiven Jahreszins um ¼ Prozentpunkt steigen, weil der Investor die zur Jahresmitte gezahlten...