Risikocontrolling mit dem Gesetz von Benford / 5 Benford-Mengen

Dimensionierte Zahlenmengen

Wie gezeigt wurde, lassen sich für Benford-Mengen mit dem zugehörigen Gesetz weitgehende Aussagen machen, sodass sich die Frage stellt, wann überhaupt eine Benford-Menge vorliegt. Benford selbst wies bereits darauf hin, dass sein Gesetz eine Art Naturgesetz für alle Bereiche darstellt, bei denen das Zahlenvorkommen in bestimmten physikalischen Dimensionen wie Atomgewichte der Elemente, Stromrechnungen oder Zahlen in der Buchhaltung gemessen wird. Andererseits kann man leicht nachprüfen, dass Benfords Gesetz etwa bei der Menge aller regionalen Benzinpreise versagt, denn diese bewegen sich aus Konkurrenzgründen innerhalb einer bestimmten Spanne, ebenso bilden Telefonnummern, Lotteriezahlen oder die Kreditkartennummern keine Benford-Menge. Aus den Untersuchungen des Mathematikers Theodore Hill^[1] lassen sich folgende Ergebnisse ableiten:

Benford-Mengen stellen Mengen dimensionierter Zahlen dar, die sich aus gewogenen, gemessenen oder physikalischen Größen zusammensetzen. Hierzu gehören auch Zahlenmengen, die sich in der Rechnungslegung oder aus Steuererklärungen ergeben.

Invarianzeigenschaft

Der Mathematiker Roger Pinkham^[2] konnte sogar zeigen, dass Benfords Gesetz so etwas wie eine universelle Gültigkeit besitzt. Er demonstrierte dies am Beispiel der Zahlenmenge der geographischen Flächen verschiedener Flüsse, die alle der Benfordschen Regel gehorchen, und zwar egal, ob man die Fläche nun in Quadratkilometern, Hektar, Morgen oder Ruten bemisst. Zwar ändern sich die einzelnen Ziffern der Zahlenmenge bei der Umrechnung, doch an der Gesamtverteilung ändere das nichts, d.h., Benfords Gesetz verhält sich skaleninvariant und stellt damit das einzig mögliche Gesetz über Ziffernhäufigkeiten dar, das die Invarianzbedingung erfüllt:

Invarianzeigenschaften von Benfords Gesetz:

Die Zahlen einer Benford-Menge können mit einer Konstanten C ungleich null multipliziert werden, wobei die Verteilung der Ziffern dann weiterhin das Gesetz von Benford erfüllt:

{BF1} x C = {BF2 }

Die Eigenschaft der Skaleninvarianz ist insbesondere für Anwendungen in der Rechnungslegung interessant, denn somit bleibt das Gesetz von Benford auch bei Umrechnungen von Euro in Dollar oder auch jede andere Währung gültig.

Dimensionslose Zahlenmengen

Bei Mengen dimensionsloser Zahlen, wie diese bei Zufallszahlen, ID-Nummern, Telefonnummern oder Intervall-beschränkten Zahlen auftreten, ist die Gültigkeit von Benford’s Law selten und zufällig, sodass in diesem Fall kaum mit Benford-Mengen zu rechnen ist.

Abrechnungsmanipulationen

Die Nützlichkeit der Benford-Mengen und die Anwendung des in ihnen geltenden Gesetzes im wirtschaftlichen Bereich erkannte als erster der amerikanische Wirtschaftsprofessor Mark Nigrini Anfang der 90er Jahre, wo er Methoden zur Aufdeckung von Betrugsfällen entwickelte. Überall dort, wo Menschen Zahlen frisieren, bei Spesenabrechnungen schummeln, die Steuererklärungen korrigieren oder bei Spenden ein paar Mark in die eigene Tasche stecken, dort kommt man den Tätern mit Benfords Gesetz auf die Schliche. Zwischenzeitlich hat Nigrini ein Programm namens Digital Analyzer entwickelt, das u.a. von der international tätigen Wirtschaftsprüfungsgesellschaft Ernst & Young eingesetzt wird.

Plausibilitätsüberlegungen

Einer Plausibilitätsüberlegung zur Gültigkeit des Benfordschen Gesetzes liegt der Gedanke zugrunde, dass viele zahlenmäßige Prozesse zumindest zeitweise durch exponentielles Wachstum regiert werden, wie dies etwa beim Wachstum von Guthaben auf einem Bankkonto unter Berücksichtigung der Zinseszinsrechnung vorliegt. Eine solche gemessene Zahl x mit exponentiellem Wachstum muss ihren Wert verdoppeln, bis eine führende 1 von der 2 abgelöst wird; bis die 2 von der 3 abgelöst wird, muss die Zahl nochmals 50 % zulegen. Somit lässt sich allgemein ableiten, dass eine Zahl mit einer bestimmten Stellenzahl, die mit der Ziffer d beginnt, einen Wertzuwachs um den Teil 1/d zulegen muss, bis die nächsthöhere Ziffer am Anfang der Zahl erreicht wird. Trifft man zu einem beliebigen Zufallszeitpunkt auf solch einen exponentiellen Prozess, so wird demnach die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die ersten Ziffern dem Benfordschen Gesetz folgen.

[1] Hill, Th.: Base-Invariance implies Benford’s Law, Proc. Amer. Math. Soc. 12, 3/1995, 887-895.

[2] Pinkham, R.: On the distribution of first significant digits, Ann. Math. Statistics, 1223-12230, 6/1961.