Risikomanagement: Manipulationsprüfungen mit statistisch ... / 3 Parameterschätzung

Den Zufall ausschließen

Will man allgemein Aussagen über einen Parameter mit statistischen Methoden gewinnen, so spricht der Statistiker vornehm von einem Parametertest. Mit einem Parametertest möchte man statistisch abgesicherte Aussagen über Parameter treffen, sodass sich die gefundenen Ergebnisse nicht nur aufgrund von Zufallsmechanismen einstellen, sondern statistisch gesichert sind. Liegt eine solche überzufällige Situation mit einer ausreichenden statistischen Sicherheit vor, so sagt man, dass der Parametertest signifikant ist. Die Signifikanz ist also wichtig insbesondere für die Übertragbarkeit von Aussagen einer untersuchten Stichprobe auf die Grundgesamtheit.

Da sich die Stichprobe zufällig ergeben hat, stellen die Stichprobenparameter selbst Zufallsvariablen dar, d. h., die Schätzwerte fallen nie ganz exakt mit den wahren Parametern zusammen, da sie von der zufällig ausgewählten Stichprobe abhängen. Folglich ist die Parameterschätzung von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit (Inferenzschluss) stets mit einem Zufallsfehler (Stichprobenfehler) behaftet:

µ = x¯ ± Zufallsfehler

Die Fehlerquote verringern

Da der Stichprobenmittelwert x¯ für einen Stichprobenumfang von größer als 10 aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes der Statistik stets als annähernd normal verteilte Größe angenommen werden kann, gilt dies auch für den Zufallsfehler. Der Fehler ε = µ – x¯ ist bei einer Stichprobe unvermeidbar, kann aber durch die Vergrößerung des Umfangs der Teilerhebung beliebig verkleinert werden. Aus der Statistik ist weiterhin bekannt, dass der Zufallsfehler normal verteilt ist (Wiederholung s. o.) mit dem Mittelwert 0 und der Varianz σ²/n. Das heißt, die Stichprobenfehler sind N(0,σ²/n)-verteilt, wobei n wieder den Stichprobenumfang bezeichnet und σ² die wahre, aber i.A. unb...