Risikomanagement: Manipulationsprüfungen mit statistisch ... / 8 Iterationslängentest

Auch der zweite Test leitet aus der Originalreihe der 55 Tagesergebnisse in der gleichen Weise wie beim Iterationstest eine neue 54-elementige Folge binärer Merkmalsausprägungen ab, wobei S und F wieder steigende bzw. fallende Differenzen zwischen den Tagesergebnissen beschreiben. Bei dem jetzt betrachteten Iterationslängentest werden nicht die Anzahl der auftretenden Sequenzen, sondern die Länge der längsten aufgetretenen Sequenz innerhalb der Binärfolge untersucht.

Eine Störung der Zufälligkeit in einer Folge binärer Daten liegt vor, wenn eine Merkmalsalternative in einer zu langen Iteration auftritt, was umgangssprachlich als Pech- oder Glückssträhne bezeichnet wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufälligen Folge von Binärdaten ein Merkmal mit einer Iterationslänge von s oder mehr auftritt, wurde 1940 von Mood im so genannten Iterationslängentest bestimmt.^[1]

Für Stichproben mit einer Gesamtlänge von n > 30, mit n1 + n2 = n, verhält sich die Verteilung der Prüfgröße f für die der Klasse K1 asymptotisch Poisson-verteilt mit einem Erwartungswert

wobei bei der Poisson-Verteilung der Erwartungswert und die Varianz übereinstimmen. Dabei bezeichnet n1 die Anzahl der Ereignisse derjenigen Merkmalsausprägung, deren Längsiteration überprüft werden soll. Den Erwartungswert für die Anzahl der Ereignisse der anderen Merkmalsausprägung erhält man analog.

Unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Poisson-Verteilung gewinnt man als Überschreitungswahrscheinlichkeit für eine Längsiteration der Länge f oder länger den Wert:

Hierbei geht man im Iterationslängentest davon aus, dass die Anteile der beiden Merkmalsalternativen aufgrund der betrachteten Stichprobe durch n1 / n bzw. n2 / n geschätzt werden.

In unserem Beispiel erfolgt die Anwendung des Tests wieder auf die abgeleitete Binärfolge der folgenden Gestalt:

FFSFSFSFFFFFSFSSFFFSSFSFSFFFFSSFFSFSFSSSFSFSFFFFSFSFFS.

Wie bereits im Iterationstest demonstriert erhält man für die Binärfolge die Größen n1 = 23, n2 = 31 und n = 54. Weiterhin ist aus der Binärfolge abzulesen, dass die längste Sequenz eine F-Sequenz darstellt, nämlich die 4. F-Folge. Somit gilt f = 5 und man erhält folgende Ergebnisse:

Die Wahrscheinlichkeit P(5) = 0,76 wird meist als Überschreitungswahrscheinlichkeit oder p-Wert bezeichnet und zeigt die Irrtumswahrscheinlichkeit dafür an, die Nullhypothese aufgrund des vorliegenden Testergebnisses abzulehnen. In unserem Fall ist der p-Wert mit 76 % nicht kleiner oder gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau von 5 %, sodass die Hypothese der Zufälligkeit der Beobachtungswerte aufgrund der maximalen Iterationslänge nicht verworfen werden kann.

[1] Bortz; Lienert; Boehnke: Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik, Springer Verlag, 1990.