Wirtschaftlichkeitsfragen mit Excel-Add-in SOLVER optima ... / 3.2 Darstellung des Problems in Gleichungen und Ungleichungen

Kennzeichnend für das Lösungsverfahren der linearen Optimierung ist, dass die Problemstellung in ein mathematisches Modell mit Gleichungen und Ungleichungen überführt wird. Dieses Gleichungssystem wird dann mit einem LP-Solver gelöst und eine optimale Lösung ermittelt.

Das Erstellen des linearen Gleichungssystems ist der entscheidende und schwierigste Schritt bei Anwendung der linearen Optimierung. Die obige Aufgabenstellung ist durch verschiedene Einschränkungen (Restriktionen) gekennzeichnet. Für jede Restriktion wird eine Gleichung ("ist gleich" einem Wert) oder eine Ungleichung ("ist größer/kleiner" einem Wert) aufgestellt.

Bspw. muss der Compound eine Trockenmasse von 90 haben. Die verschiedenen Ausgangsstoffe liefern Trockenmasse in unterschiedlichen Mengen (vgl. Tabelle 1). Alle Ausgangsstoffe mit ihren berechneten Mengen müssen in der optimalen Lösung genau einen Compound mit einer Trockenmasse von 90 ergeben.

Somit ergibt sich für diese Restriktion folgende Gleichung:

Verbrauch Trockenmasse von 90 % durch die Produktion einer Menge Compound

=

"gelieferte" Trockenmasse durch die Mengen der einzelnen Ausgangsstoffe

oder:

90 TM% * Menge Compound

=

84 TM % * Menge Butter + 90 TM% * Menge Pflanzenfett + 96 TM% * Menge Magermilchpulver + 98 TM % * Menge Stärkepulver + 98 TM% * Menge Zucker + 90 TM% * Menge Verdickungsmittel 1 + 95 TM% * Menge Verdickungsmittel 2 + 0 TM% * Menge Wasser

Umformuliert ergibt sich:

90 TM% * Menge Compound – 84 TM % * Menge Butter – 90 TM% * Menge Pflanzenfett – 96 TM% * Menge Magermilchpulver – 98 TM % * Menge Stärkepulver – 98 TM% * Menge Zucker – 90 TM% * Menge Verdickungsmittel 1 – 95 TM% * Menge Verdickungsmittel 2 – 0 TM% * Menge Wasser

=

0

Die Restriktion für das Einhalten der Trockenmasse wurde somit in eine Gleichung überführt mit dem Wert 0 auf der rechten Gleichungsseite. Der Compound bzw. die Menge des Compounds und die Mengen der verschiedenen Ausgangsstoffe sind die Variablen des Optimierungsmodells, da ihre (optimalen) Werte erst durch die Optimierung ermittelt werden.

Analog wird mit den anderen Restriktionen vorgegangen. Neben der Restriktion für die Trockenmasse müssen auch die Vorgaben bei Fett, Protein, Kohlehydrate, Mineralstoffe und Viskosität eingehalten werden. Es ergeben sich daraus weitere Gleichungen mit dem Wert 0 auf der rechten Seite der Gleichung:

Restriktion für Fett:

20 Fett * Menge Compound – 82 Fett * Menge Butter – 70 Fett * Menge Pflanzenfett – 0,5 Fett * Menge Magermilchpulver – 0 Fett * Menge Stärkepulver – 0 Fett * Menge Zucker – 0 Fett * Menge Verdickungsmittel 1 – 0 Fett * Menge Verdickungsmittel 2 – 0 Fett * Menge Wasser

=

0

Restriktion für Protein:

35 Protein * Menge Compound – 1 Protein * Menge Butter – 5 Protein * Menge Pflanzenfett – 38 Protein * Menge Magermilchpulver – 0 Protein * Menge Stärkepulver – 0 Protein * Menge Zucker – 85 Protein * Menge Verdickungsmittel 1 – 90 Protein * Menge Verdickungsmittel 2 – 0 Protein * Menge Wasser

=

0

Restriktion für Kohlenhydrate:

25 Kohlenhydr. * Menge Compound – 1 Kohlenhydr. * Menge Butter – 0 Kohlenhydr. * Menge Pflanzenfett – 47 Kohlenhydr. * Menge Magermilchpulver – 85 Kohlenhydr. * Menge Stärkepulver – 98 Kohlenhydr. * Menge Zucker – 0 Kohlenhydr. * Menge Verdickungsmittel 1 – 0 Kohlenhydr. * Menge Verdickungsmittel 2 – 0 Kohlenhydr. * Menge Wasser

=

0

Restriktion für Mineralstoffe:

10 Mineralst. * Menge Compound – 0 Mineralst. * Menge Butter – 15 Mineralst. * Menge Pflanzenfett – 10,5 Mineralst. * Menge Magermilchpulver – 13 Mineralst. * Menge Stärkepulver – 0 Mineralst. * Menge Zucker – 5 Mineralst. * Menge Verdickungsmittel 1 – 5 Mineralst. * Menge Verdickungsmittel 2 – 0 Mineralst. * Menge Wasser

=

0

Restriktion für Viskosität:

150 Visko. * Menge Compound – 0 Visko. * Menge Butter – 20 Visko. * Menge Pflanzenfett – 20 Visko. * Menge Magermilchpulver – 250 Visko. * Menge Stärkepulver – 10 Visko. * Menge Zucker – 300 Visko. * Menge Verdickungsmittel 1 – 320 Visko. * Menge Verdickungsmittel 2 – 0 Visko. * Menge Wasser

=

0

Und schließlich wird die sog. Zielfunktionsgleichung formuliert. Dabei handelt es sich um die Gleichung, die einen optimalen Wert (das Minimum oder das Maximum) auf der rechten Seite annehmen soll: Das Ergebnis der Mischung soll einen maximalen Ergebniswert annehmen, d. h. die Summe des Erlöses der produzierten Compound-Menge und die Summe der Kosten für die verwendeten Ausgangsstoffe müssen einen maximalen Wert ergeben.

Zielfunktionsgleichung:

5000 * Menge Compound – 5000 * Menge Butter – 3000 * Menge Pflanzenfett – 1700 * Menge Magermilchpulver – 1500 * Menge Stärkepulver – 500 * Menge Zucker – 4500 * Menge Verdickungsmittel 1 – 5000 * Menge Verdickungsmittel 2 – 0 * Menge Wasser

=

Maximum

Bei der linearen Optimierung werden alle Restriktionen, die in Gleichungen oder Ungleichungen formuliert sind eingehalten und gleichzeitig die Werte der Variablen ermittelt, welche zu dem Optimum der Zielfunktionsgleichung führen.

Als Tabellenkalkulationsprogramm ist Excel mit sein...