Prof. Dr. Reinhold Hölscher, Dr. Matthias Michael Nelde
Effektivzinssätze verdichten alle Ertrags- bzw. Kostenkomponenten eines Kredit- oder Refinanzierungsgeschäfts zu einer einheitlichen Kennzahl. Gemeinsame Grundlage der in der Bankpraxis üblichen dynamischen Effektivzinsrechnung ist die interne Zinsfußmethode. Zum besseren Verständnis dieser Methode sollen zunächst die lineare und die exponentielle Zinsrechnung betrachtet werden.
Im Rahmen der linearen Zinsrechnung wird bei unterjährigen Anlagezeiträumen, d. h. bei einer Anlage mit einer Laufzeit unter einem Jahr, der Jahreszins proportional auf den zu verzinsenden Zeitraum umgerechnet.
Lineare Zinsrechnung
Ein Betrag von 3.000 EUR soll zu einem Nominalzinssatz von 7 % p. a. für 6 Monate angelegt werden. Für den betrachteten Zeitraum gilt real ein Zinssatz von 7 %* 6/12 = 3,5 %. Der Endbetrag nach 6 Monaten berechnet sich wie folgt:
bzw.
| Endbetrag = |
3.000 · 3,5 % |
| = |
3.105 EUR |
Die exponentielle Zinsrechnung basiert auf der in der Finanzmathematik üblichen Auf- und Abzinsungstechnik, die folgende Formeln verwendet:
| Endbetrag = |
Anfangsbetrag · (1 + Zinssatz)Anlagedauer |
| Anfangsbetrag = |
Endbetrag · (1 + Zinssatz)- Anlagedauer |
Diese Formeln gelten sowohl für mehrjährige als auch für unterjährige Anlagezeiträume. Bei unterjähriger Anlage ist als Anlagedauer der entsprechende Teil des Jahres einzusetzen.
Exponentielle Zinsrechnung - unterjährige Anlagedauer
Es sollen wiederum 3.000 EUR zu einem Nominalzinssatz von 7 % für 6 Monate angelegt werden.
Die lineare Zinsrechnung wird im Rahmen des TEZ-Verfahrens und der US-amerikanischen Effektivzinsrechnung verwendet, wohingegen die exponentielle Zinsrechnung innerhalb der ICMA-Methode zum Einsatz kommt.
Die interne Zinsfußmethode basiert auf der dynamischen Investitionsrechnung und kann über die Ermittlung der Rentabilität eines Investitionsobjekts hinaus zur Berechnung der Effektivverzinsung eines Kredits eingesetzt werden. In diesem Zusammenhang stellt der interne Zinsfuß den Zinssatz dar, mit dem der noch nicht amortisierte, also noch nicht getilgte Kapitaleinsatz verzinst wird.
Interne Zinsfußmethode
Eine Bank gewährt einen Kredit in Höhe von 5.000 EUR, wobei ein Disagio von 10 % gelten soll. Der Auszahlungsbetrag des Kredits beträgt demnach 4.500 EUR. Weiterhin wurden ein Nominalzins von 7 % und jährliche Zins- und Tilgungszahlungen vereinbart. Die Tilgung soll in zwei gleich großen Raten jeweils am Ende des ersten und des zweiten Jahres erfolgen. Der Kapitaldienst (Tilgungs- und Zinszahlung) am Ende des ersten Jahres beträgt 2.850 EUR (2.500 EUR Tilgung + 7 % von 5.000 EUR = 350 EUR Zinsen), am Ende des zweiten Jahres 2.675 EUR (2.500 EUR Tilgung + 7 % von 2.500 EUR = 175 EUR Zinsen).
Mit Hilfe der internen Zinsfußmethode kann ermittelt werden, mit welchem Zinssatz die beiden Zahlungen abgezinst werden müssten, damit die Summe der Rückzahlungsbarwerte (der Barwert stellt den gegenwärtigen Wert einer für die Zukunft erwarteten Zahlung oder Zahlungsreihe dar und wird durch Abzinsung errechnet) genau dem ausgezahlten Kreditbetrag entspricht. Der interne Zinsfuß r berechnet sich wie folgt:
| 4.500 EUR = |
2.850 EUR · (1 + r)-1 + 2.675 · (1 + r)-2 |
Durch eine Umformung der Gleichung lässt sich der interne Zinsfuß bestimmen. Für das Beispiel ist r = 15 %. Dieser Zinssatz stellt die interne Verzinsung des jeweils noch eingesetzten Restkapitals dar. Der ausgezahlte Kreditbetrag in Höhe von 4.500 EUR führt folglich zu einem effektiven Zinsertrag für die Bank im ersten Jahr von 675 EUR (bei einer Verzinsung von 15 %), der effektive Tilgungsanteil der in t=1 erbrachten Kapitaldienstleistung in Höhe von 2.850 EUR beträgt demnach 2.175 EUR. Das eingesetzte Kapital von 4.500 EUR verringert sich um diesen Betrag auf 2.325 EUR, sodass von der Bank im zweiten Jahr effektiv ein Restkapital von 2.325 EUR eingesetzt wird. Dieser Betrag wird intern wiederum mit 15 % verzinst, was zu effektiven Zinseinnahmen der Bank in Höhe von 350 EUR führt. Die Tilgungsleistung im zweiten Jahr beträgt somit 2.675 EUR – 350 EUR = 2.325 EUR. Der Tilgungsbetrag entspricht also exakt dem noch gebundenen Restkapital, was eine vollständige Rückzahlung des Kredits im Zeitpunkt 2 zur Folge hat (vgl. Abbildung 1).
Abb. 1: Zahlungsstromorientierte Darstellung des Internen Zinsfußes
Der mit Hilfe der internen Zinsfußmethode berechnete Zinssatz r entspricht dem Effektivzins und drückt die reale jährliche Zinsbelastung des Kreditnehmers aus.