Finanzmathematik für Controller / 3 Rentenrechnung

3.1 Rentenbegriff und Problemstellung

Rente und Kapitalisierung

Neben der Zinseszinsrechnung, die einzelne Zahlungen unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen aufzinst oder abzinst, ist die Rentenrechnung das wichtigste wirtschaftliche Anwendungsgebiet für die Summenformel (4) für endliche und (5) für unendliche geometrische Reihen.

Unter einer n-maligen Rente versteht die Finanzmathematik eine Zahlungsreihe, die aus n gleichen Zahlungen der Höhe g besteht, die in gleichen Zeitabständen aufeinander folgen. Nach der Zahlungsdauer unterscheidet man Zeitrente (feste Frist), Leibrente (unbekannte Frist) und ewige Rente (zeitlich unbegrenzt). Kapitalisierung ist die Umrechnung einer Rente in eine einmalige heutige Zahlung. Umgangssprachlich ist Rente auch eine Zahlungsreihe, die aus regelmäßigen Zahlungen besteht, welche von Zeit zu Zeit geändert (angepasst, erhöht, gesenkt) werden. Die Rentenrechnung beschäftigt sich mit dem finanzmathematisch korrekten Umgang mit Zahlungsreihen. Im Einzelnen heißt das, Rentenrechnung ist die Errechnung

• des Barwertes K0 einer Zahlungsreihe,
• des Endwertes Kn einer Zahlungsreihe,
• der zu einer heutigen Einmalzahlung K0 gehörenden Zahlungsreihe (Verrentung einer heutigen Zahlung),
• der zu einer späteren Einmalzahlung Kn gehörenden Zahlungsreihe (Verrentung einer späteren Zahlung).

Anwendungsfelder

Diese vier Anwendungsfelder stellen den praktischen Kern der Rentenrechnung dar, die damit zur Paradedisziplin des Finanz-Controlling avanciert. Eine Rente kann aus n gleichen Zahlungen bestehen, die jeweils am Periodenende zu leisten sind, dann liegt eine nachschüssige (postnumerando) Rente vor. Sie kann auch aus n Zahlungen bestehen, die am Periodenbeginn zu leisten sind, dann handelt es sich um eine vorschüssige (pränumerando) Rente. Die Zeitspanne zwischen zwei Rentenzahlungsterminen heißt Rentenperiode. Man nimmt im Allgemeinen an, dass die Rentenperiode gleichzeitig die Zinsperiode darstellt: Rentenperiode = Zinsperiode.

3.2 Rentenbarwert

(1) Problem und Lösung

Problem:

Bekannt ist die Renten-Zahlungsreihe, die aus n nachschüssigen Zahlungen der Höhe g besteht. Gesucht ist der heutige Wert (Barwert) K0 der Rente beim Zinssatz i.

Lösung:

Abb. 16: Barwert einer Zahlungsreihe

Gegenwartswert

Wenn man die Rentenzahlungen g jeweils einzeln diskontiert (abzinst), so erhält man für K0 (= Gegenwartswert der Zahlungsreihe) den Ausdruck:

(18)

Die Berechnung des Rentenbarwertes K0 ist nach dieser Methode stets möglich. Nachteilig ist jedoch, dass die Errechnung von K0 mit zunehmender Länge der Zahlungsreihen, also mit wachsendem n, immer zeitaufwendiger wird. Es liegt daher nahe, Gleichung (18) zu vereinfachen. Betrachtet man Gleichung (18) genauer, so erkennt man, dass eine geometrische Reihe vorliegt, bei der sich jedes Glied durch Multiplikation des vorhergehenden mit dem Faktor

ergibt. Das erste Glied unserer geometrischen Reihe lautet:

Somit können wir die oben entwickelte Summenformel (4) für geometrische Reihen verwenden und erhalten:

(19)

Rentenbarwert

Gleichung (19) dient zur Ermittlung des Barwertes einer Rente, bestehend aus n gleichen Zahlungen, die jeweils am Periodenende anfallen. Man hat also lediglich die konstante periodische Zahlung g mit dem Faktor

zu multiplizieren, um den Gegenwartswert der Zahlungsreihe zu erhalten. Weil dieser Faktor

1. alle Glieder der Zahlungsreihe mit dem Zinssatz i abzinst und
2. die Barwerte aller Glieder aufsummiert,

Diskontierungs- summenfaktor

heißt er Abzinsungssummenfaktor oder Diskontierungssummenfaktor (DSF). Gelegentlich wird er auch Kapitalisierungs-, Barwert- oder Rentenbarwertfaktor genannt. Eine alternative Schreibweise, bei der (1+i) = q gesetzt wird, lautet:

Man beachte, dass der Diskontierungssummenfaktor nur dann anwendbar ist, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Zahlungen fallen stets am Periodenende (postnumerando, nachschüssig) an.
2. Die Zahlungsreihen sind äquidistant, d. h., der zeitliche Abstand zwischen den Zahlungen ist gleich. Meist wählt man Zeitabstände von einem Jahr. Die Zahlungen könnten aber auch in periodischen Abständen von Quartalen, Monaten oder Tagen anfallen.
3. Die Zahlungsreihen sind uniform, d. h., die einzelnen Zahlungen sind gleich.

Bei unterschiedlichen Zahlungen und/oder verschiedenen zeitlichen Distanzen bleibt dem Controller nichts anderes übrig, als die Geldbeträge jeder Periode einzeln mit dem Abzinsungsfaktor AbF auf die Gegenwart zu diskontieren (abzuzinsen).

(2) Barwert jährlicher Renten

Praxis-Beispiel

Ein in Scheidung lebender Mann hat mit seiner bisherigen Frau vereinbart, ihr für n = 15 Jahre jährlich g = 9.000 Euro zu zahlen. Die Frau könnte einen Kiosk übernehmen und sich so selbständig machen und benötigt heute einen größeren Geldbetrag. Der Mann wäre bereit, die von ihm zu leistende Rente zu kapitalisieren und den Rentenbarwert an seine bisherige Frau auszuzahlen. Wie hoch ist der Barwert K0 dieser Zahlungsreihe beim Zinssatz i = 0,05 = 5 %?

Lösung:

K0	=	g x DSF15
K0	=	9.000 x 10,379658	K0 = 1 000 51, 150391
K0	=	93.417 (Euro)

Abb. 17: Barwert einer Zahlungsreihe

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