(1) Problem und Lösung
Problem:
Bekannt ist die Renten-Zahlungsreihe, die aus n nachschüssigen Zahlungen der Höhe g besteht. Gesucht ist der heutige Wert (Barwert) K0 der Rente beim Zinssatz i.
Lösung:
Abb. 16: Barwert einer Zahlungsreihe
Gegenwartswert
Wenn man die Rentenzahlungen g jeweils einzeln diskontiert (abzinst), so erhält man für K0 (= Gegenwartswert der Zahlungsreihe) den Ausdruck:
(18)
Die Berechnung des Rentenbarwertes K0 ist nach dieser Methode stets möglich. Nachteilig ist jedoch, dass die Errechnung von K0 mit zunehmender Länge der Zahlungsreihen, also mit wachsendem n, immer zeitaufwendiger wird. Es liegt daher nahe, Gleichung (18) zu vereinfachen. Betrachtet man Gleichung (18) genauer, so erkennt man, dass eine geometrische Reihe vorliegt, bei der sich jedes Glied durch Multiplikation des vorhergehenden mit dem Faktor
ergibt. Das erste Glied unserer geometrischen Reihe lautet:
Somit können wir die oben entwickelte Summenformel (4) für geometrische Reihen verwenden und erhalten:
(19)
Rentenbarwert
Gleichung (19) dient zur Ermittlung des Barwertes einer Rente, bestehend aus n gleichen Zahlungen, die jeweils am Periodenende anfallen. Man hat also lediglich die konstante periodische Zahlung g mit dem Faktor
zu multiplizieren, um den Gegenwartswert der Zahlungsreihe zu erhalten. Weil dieser Faktor
- alle Glieder der Zahlungsreihe mit dem Zinssatz i abzinst und
- die Barwerte aller Glieder aufsummiert,
Diskontierungs- summenfaktor
heißt er Abzinsungssummenfaktor oder Diskontierungssummenfaktor (DSF). Gelegentlich wird er auch Kapitalisierungs-, Barwert- oder Rentenbarwertfaktor genannt. Eine alternative Schreibweise, bei der (1+i) = q gesetzt wird, lautet:
Man beachte, dass der Diskontierungssummenfaktor nur dann anwendbar ist, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Die Zahlungen fallen stets am Periodenende (postnumerando, nachschüssig) an.
- Die Zahlungsreihen sind äquidistant, d. h., der zeitliche Abstand zwischen den Zahlungen ist gleich. Meist wählt man Zeitabstände von einem Jahr. Die Zahlungen könnten aber auch in periodischen Abständen von Quartalen, Monaten oder Tagen anfallen.
- Die Zahlungsreihen sind uniform, d. h., die einzelnen Zahlungen sind gleich.
Bei unterschiedlichen Zahlungen und/oder verschiedenen zeitlichen Distanzen bleibt dem Controller nichts anderes übrig, als die Geldbeträge jeder Periode einzeln mit dem Abzinsungsfaktor AbF auf die Gegenwart zu diskontieren (abzuzinsen).
(2) Barwert jährlicher Renten
Ein in Scheidung lebender Mann hat mit seiner bisherigen Frau vereinbart, ihr für n = 15 Jahre jährlich g = 9.000 Euro zu zahlen. Die Frau könnte einen Kiosk übernehmen und sich so selbständig machen und benötigt heute einen größeren Geldbetrag. Der Mann wäre bereit, die von ihm zu leistende Rente zu kapitalisieren und den Rentenbarwert an seine bisherige Frau auszuzahlen. Wie hoch ist der Barwert K0 dieser Zahlungsreihe beim Zinssatz i = 0,05 = 5 %?
Lösung:
| K0 |
= |
g x DSF15 |
| K0 |
= |
9.000 x 10,379658 |
K0 = 1 000 51, 150391 |
| K0 |
= |
93.417 (Euro) |
Abb. 17: Barwert einer Zahlungsreihe
Ergebnis:
Der Rentenbarwert, der der Zahlungsreihe gleichwertig (äquivalent) ist, beläuft sich auf 93.417 Euro.
(3) Barwert unterjährlicher Renten
Unterjährliche Zahlungsweise
Für den Fall, dass die Rentenzahlung nicht jährlich, sondern unterjährlich erfolgt, bleibt die Rentenbarwertformel (19) unverändert anwendbar. Sie errechnet den Gegenwartswert einer Rente, die über n Perioden läuft. Die Perioden können Jahre oder Jahresbruchteile (Halbjahre, Vierteljahre, Monate, Wochen usw.) sein. Wichtig ist, dass bei unterjährigen Rentenperioden der entsprechende Zinssatz (z. B. Zinssatz pro Monat) verwendet wird. Dabei kann es hilfreich sein, einen vorgegebenen Jahreszinssatz mit Hilfe der Zinsumrechnungsformel (13) in den zu ihm gehörenden Zinssatz der jeweiligen unterjährigen Periode umzurechnen.
Man errechne den Barwert einer über 72 Monate laufenden Rente von 1.000 Euro, die jeweils zum Monatsende gezahlt werden. Der Zinssatz ist 12,68% pro Jahr.
Lösung:
Zunächst errechnet man den zum effektiven Jahreszinssatz von r = 12,68 = 0,1268 gehörenden Teilperiodenzinssatz rv mit Hilfe der Zinsumrechnungsformel (13):
Sodann ermittelt man den Barwert K0 mit der Rentenbarwertformel (19):
| K0 |
|
g x DSF72 |
| K0 |
= |
1.000 x 51,150391 |
| K0 |
= |
51.150 (Euro) |
Abb. 18: Barwert einer Zahlungsreihe
Ergebnis:
Zur 1.000-Euro-Rente, über 72 Monate gezahlt, gehört der Barwert von 51.150 Euro. Beide sind beim Zinssatz von 1% pro Monat gleichwertig.
(4) Barwert vorschüssiger Renten
Vorschüssige Zahlungsweise
Problem:
Bei vorschüssiger Zahlungsweise, die bei Rentenzahlungen häufig ist, fällt die erste Zahlung zu Beginn der ersten Periode an, während am Ende der letzten Periode keine Zahlung mehr erfolgt.
Abb. 19: Vor- und nachschüssige Zahlungsweise
Der Barwert einer vorschüssigen Rente wird mit Hilfe des Diskontierungssummenfaktors (DSF) und des Aufzinsungsfaktors (AuF) errechnet. Der folgende Zeitstrahl zeigt die Rente mit der vorschüssigen Zahlu...