Finanzmathematik für Controller / 2.1 Nachschüssige ganzjährige Verzinsung

Dekursive Verzinsung

Zinseszinsen entstehen, wenn die Zinsen am Periodenende nicht ausgezahlt, sondern dem zu verzinsenden Kapital zugeschlagen und somit künftig ebenfalls verzinst werden. Zinseszinsen sind nach § 248 Abs. 1 BGB bei Geschäften zwischen Privatpersonen unzulässig. Ein solcher Vertrag ist nichtig. Jedoch bestimmt § 248 Abs. 2 BGB, dass Sparkassen, Kreditanstalten und Inhaber von Bankgeschäften Zinseszinsen verlangen können. Die Verzinsung erfolgt im Regelfall am Schluss einer jeden Zinsperiode. Man spricht hierbei von dekursiver Verzinsung (Dekurs, lat. = Verlauf, Ablauf). Die Zinsen werden also erst dann zum Kapital gerechnet, wenn die Periode abgelaufen ist (= nachschüssige oder Postnumerando-Verzinsung).

Problem:

Ein heutiges Kapital K0 wächst im Laufe von n Jahren beim Zinssatz i auf das Kapital Kn an. Für praktische Berechnungen fragt man: Wie errechnet man den Endwert Kn, wenn der Barwert K0, genau wie der Zinssatz i und die Aufzinsungszeit n, bekannt ist?

Abb. 2: Aufzinsen

Aufzinsungsformel

Am Ende eines beliebigen Jahres n wird der Wert des heutigen Kapitals mit Hilfe der Aufzinsungsformel (6) errechnet, indem man den ursprünglichen Wert (Barwert, Gegenwartswert) mit dem Aufzinsungsfaktor multipliziert. Der Controller entnimmt den Aufzinsungsfaktor (AuF) (wie die übrigen finanzmathematischen Faktoren) finanzmathematischen Tabellenwerken. Er kann ihn auch mit dem Taschenrechner errechnen.

(6)

Kn = K0(1+i)n = K0 x AuF

→

Aufzinsungsfaktor (AuF)

Praxis-Beispiel

Ein Vater legt bei der Geburt seiner Tochter ein Sparbuch mit 10.000 Euro an. Das Kreditinstitut gewährt einen Zinssatz von i = 0,05 = 5%. Über welchen Geldbetrag Kn kann die Tochter nach n = 18 Jahren verfügen?

Lösung:

Kn = K0 (1+i)ⁿ

Kn = 10.000 x (1 + 0,05)¹⁸ = 10.000 x 2,406619 = 24.066,19 (Euro)

Abb. 3: Aufzinsen

Ergebnis: Nach 18 Jahren verfügt die Tochter über ein Guthaben von 24.066,19 Euro.

Vorteilhafte Tabelle

Der Vorteil der Aufzinsungsformel (6) wird deutlich, wenn man sich die Aufgabe stellt, das Endguthaben im obigen Beispiel ohne Formel Schritt für Schritt zu errechnen. Dazu bedarf es einer Tabelle, die in 18 Zeilen 18 Zinsberechnungen einzeln durchführt – eine Menge Rechenarbeit, die die Aufzinsungsformel dem Controlling erspart.

Jahr	Anfangsguthaben	Zinsen	Endguthaben
1	10.000,00	500,00	10.500,00
2	10.500,00	525,00	11.025,00
3	11.025,00	551,25	11.576,25
.
.
.
18	22.920,18	1.146,01	24.066,19

Abb. 4: Tabellarisches Aufzinsen

Praxis-Beispiel

Auf welche Summe wäre ein Pfennig angewachsen, wenn er vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt 2000 mit 5% verzinst worden wäre?

Lösung:

Abb. 5: Aufzinsen

Ergebnis: Das ist ein unvorstellbar großer Geldbetrag. Rechnet man das Kilo Gold mit 10.000 Euro, so könnte man damit

Kilogramm Gold kaufen. Das ist immer noch unvorstellbar. Teilt man diese Goldmenge durch die Erdmasse von 5,973 x 10²⁴ kg, so gelangt man zu 2,009 x 10¹¹. Danach wären rund 200 Milliarden goldene Erdkugeln nötig, um den Endwert des Pfennigs aus alter Zeit zu repräsentieren. Dieses Ergebnis gibt eine gewisse Vorstellung von der Wucht eines sich ständig beschleunigenden Wachstums und der enormen Bedeutung von Zinseszinsen bei langfristigen Geschäften.

Abzinsungsformel

Problem: Die Aufzinsungsformel (6) beantwortet die Frage, welcher Endwert Kn zu einem heutigen Wert K0 gehört. Wenn dagegen der Endwert Kn bekannt und der zugehörige Barwert K0 gesucht ist, ist die Abzinsungsformel einzusetzen. Diese ergibt sich, indem man die Aufzinsungsformel Kn = K0(1+i)ⁿ nach der nunmehr gesuchten Größe K0 auflöst.

Man erhält dann:

AbF = Abzinsungsfaktor

Diese Formel heißt Abzinsungsformel. Der Faktor

ist der Abzinsungsfaktor. Er wird gelegentlich auch als q^-n geschrieben. Weil diskontieren abzinsen heißt, wird der Abzinsungsfaktor gelegentlich auch Diskontierungsfaktor genannt.

Praxis-Beispiel

Ein Mitinhaber eines Unternehmens scheidet aus. Seine Abfindung beträgt 300.000 Euro, fällig nach 3 Jahren. Er erhält über diese Summe einen Wechsel. Was könnte ihm eine Bank, die mit 5% rechnet, heute dafür geben?

Lösung:

Abb. 6: Abzinsung

Ergebnis: Der Barwert des Wechsels beträgt 259.151 Euro.