§ 1 Messverfahren / a) Grundlagen Korrelationsrechnung

Rz. 1048

Im Bereich der Signalanalyse wird für den Vergleich zweier Signalverläufe die so genannte Korrelationsrechnung benutzt. Die Methode ist in weiten Bereichen der Wissenschaft anerkannt und in zahlreichen Fakultäten gängiges Handwerkszeug.

Die Korrelationsrechnung liefert zwei Informationen:

▪	den Zeitversatz zwischen zwei hinein gegebenen Signalen (hier: Helligkeitsprofile) und
▪	deren Grad an Übereinstimmung.

Üblicherweise erfolgt die Berechnung eines Zeitversatzes und des Grades der Übereinstimmung zweier zeitabhängiger Signale durch die Bildung der so genannten Kreuzkorrelationsfunktion zwischen den beiden Signalen.

Diese Formel wird in der praktischen Umsetzung zu

Damit die Kreuzkorrelationsfunktion den Grad der Übereinstimmung der beiden Signale als Funktion der Verschiebung der beiden Signale angibt, muss sie auf ein bestimmtes Maß c bezogen werden, d.h., sie ist zu normieren. Es gilt hier

Als Zeitversatz zwischen den Signalen ist dann diejenige Verschiebung zu nehmen, an der die Kreuzkorrelationsfunktion ihren Maximalwert annimmt.

Der Grad der Übereinstimmung zwischen den Signalen wird durch den Korrelationskoeffizienten ausgedrückt. Dessen Betrag kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen, wobei 0 eine sehr geringe und 1 eine sehr hohe Übereinstimmung der Signale beschreibt.

Rz. 1049

In der Praxis bedeutet dies, dass ein digitalisiertes Signal über eine mathematische Funktion zeitlich verschoben wird. Im vorliegenden Fall wird das erste Signal so lange zeitlich verschoben, bis die größte Korrelation (sprich Übereinstimmung) mit dem zweiten Sensorsignal erreicht wird. Der so ermittelte Zeitversatz entspricht der Zeit, die das die Signale verursachende Objekt benötigt, um sich von Sensor 1 zu Sensor 2 in unserem Beispiel zu bewegen. Diese Zeit kann für die Berechnung der Geschwindigkeit verwendet werden. Hierzu wird die Korrelation entsprechend normiert als Wert zwischen – 1...1, wobei – 1 einer gegenläufig gleichen Entwicklung der Signale und 1 einer identischen Entwicklung entspricht.

Rz. 1050

Liegen zwei Signale vor, die gar nicht übereinstimmen (etwa weißes Rauschen), nimmt die Kreuzkorrelationsfunktion für alle Zeitverschiebungen den Wert 0 an. Alle realen ­Signale ergeben Kurven, die zwischen diesen beiden Extremen liegen.

Hinweis

Für einen Algorithmus zur reinen Suche des Maximums einer Funktion ist es unerheblich, wie hoch der Wert des absoluten Maximums ist. Damit ist zumindest theoretisch nicht auszuschließen, dass bei der Anwendung dieses Algorithmus auf die Kreuzkorrelationsfunktion zwar ein Zeitversatz für ein absolutes Maximum bestimmt wird, dieser aber nicht mit der zu bestimmenden tatsächlichen Geschwindigkeit des gemessenen Objektes übereinstimmt. Dies ist etwa dann der Fall, wenn das Gesamtsignal aus mehreren Anteilen besteht, die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit fortbewegen (z.B. Anteile der Fahrzeugräder, 2. Fahrzeug, Schatten, Lichtreflexe etc.).

Rz. 1051

Damit dem ermittelten Zeitversatz eine physikalisch sinnvolle Aussagekraft zugeordnet werden kann, ist daher ein Mindestmaß an Übereinstimmung (Korrelationskoeffizient) zwischen den Signalen zu fordern.

Bei Korrelationskoeffizienten über 0,7 wird die Korrelation zwischen zwei Signalen in der Literatur als hoch und über 0,9 als sehr hoch bezeichnet.^[55]

Hinweis

Bei der Bestimmung eines zeitlichen Versatzes zwischen zwei Signalverläufen kommt es für die Aussagekraft des Korrelationsgrades (Korrelationskoeffizient/Gütefaktor) fundamental auf die Länge des zur Auswertung herangezogenen Datenbereichs an. Die bloße Angabe eines Schwellwertes für den Gütefaktor ohne Angaben bezüglich der herangezogenen Datenmenge kann aus technischer Sicht nicht als Beleg für eine qualitativ hochwertige Auswertung bzw. einen korrekt ermittelten Zeitversatz zwischen den Signalen dienen.

[55] Vgl. etwa Kessler, Multivariate Datenanalyse: für die Pharma-, Bio- und Prozessanalytik.