Gründe: I. [1] Der Beschwerdeführer ist ein Landkreis und Träger eines Jugendamts. Mit seiner Verfassungsbeschwerde macht er geltend, dass seine Rechte und die Rechte eines Kindes verletzt seien, weil zu dessen Schutz ein Sorgerechtsentzug erforderlich gewesen, dieser durch die Familiengerichte aber nicht vorgenommen worden sei.
[2] 1. Im Zuständigkeitsbereich des Beschwerdeführers lebt die im Jahr 2007 geborene S. mit ihrer allein sorgeberechtigten Mutter. Die Eltern des Kindes leben voneinander getrennt. Im Mai 2016 war die Mutter mit dem Kind in den Haushalt ihres Lebensgefährten gezogen, der im Oktober 2015 wegen zwischen 2009 und 2013 begangener Taten des sexuellen Missbrauchs von Kindern zu einer Gesamtfreiheitsstrafe von zwei Jahren, bei Aussetzung der Vollstreckung zur Bewährung, verurteilt worden war. Die Strafe wurde mittlerweile nach Ablauf der Bewährungszeit erlassen. Im Januar 2018 erfuhr das Jugendamt von der Beziehung und davon, dass die Mutter mit dem Kind beim Lebensgefährten eingezogen war. In demselben Monat fand ein Gespräch zwischen dem Lebensgefährten, der Mutter und dem Jugendamt, dessen Rechtsträger der Beschwerdeführer ist, statt. Der Lebensgefährte erklärte sich in einer Schutzvereinbarung bereit, aus der gemeinsamen Wohnung auszuziehen. Am 24.1.2018 nahm das Jugendamt das Kind gleichwohl in Obhut und brachte es in einer Jugendhilfeeinrichtung unter.
[3] 2. Ebenfalls im Januar 2018 regte das Jugendamt familiengerichtliche Maßnahmen zum Schutz des Kindes nach § 1666 BGB an.
[4] a) Im Mai 2018 entschied das Familiengericht, keine sorgerechtlichen Maßnahmen zu ergreifen und ordnete die Herausgabe des Kindes an die Mutter an. Zur Begründung führte es aus, nach dem Ergebnis von zwei eingeholten Sachverständigengutachten und nach eigener Prüfung sehe es derzeit keine Gefährdung des Kindes, wenn es in den mütterlichen Haushalt zurückkehre. Die Mutter sowie der Lebensgefährte seien bereit, alle empfohlenen Schutzmaßnahmen mitzutragen. Angesichts der guten Bindung des Kindes sowohl zur Mutter als auch zum Lebensgefährten sei eine unmittelbare Rückkehr erforderlich, um Schaden vom Kind abzuwenden, der entstehe, wenn das Kind noch länger von der Mutter getrennt sei.
[5] b) Mit Beschl. v. 3.8.2018 änderte das Oberlandesgericht auf eine Beschwerde des Beschwerdeführers hin die Entscheidung des Familiengerichts ab und entzog der Mutter unter anderem das Aufenthaltsbestimmungsrecht. Im Umfang des Sorgerechtsentzugs ordnete es Ergänzungspflegschaft an und bestellte den Beschwerdeführer zum Pfleger. Das Oberlandesgericht begründete seine Entscheidung damit, dass aus dem Zusammenleben der Mutter mit ihrem Lebensgefährten die zwar nicht überwiegende, aber doch signifikante Wahrscheinlichkeit eines sexuellen Übergriffs des Lebensgefährten auf das Kind resultiere. Sollten derzeit aus günstigen Lebensumständen des Lebensgefährten der Mutter resultierende protektive Faktoren wegfallen, steige nach den Sachverständigengutachten die Wahrscheinlichkeit eines Schadenseintritts auf ein nicht mehr hinnehmbares Maß. Die Fremdunterbringung sei auch nicht ihrerseits mit derart negativen Folgen für das Kind verbunden, dass diese in der Abwägung gegen die Maßnahme sprechen würden.
[6] c) Auf die zugelassene Rechtsbeschwerde der Mutter hob der Bundesgerichtshof mit angegriffenem Beschl. v. 6.2.2019 die Beschwerdeentscheidung des Oberlandesgerichts auf und verwies das Verfahren an dieses zur erneuten Entscheidung zurück. Der vom Oberlandesgericht angeordnete Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts sei unverhältnismäßig, weil es an einer dafür erforderlichen nachhaltigen Gefährdung des Kindes mit einer ziemlichen Sicherheit eines Schadenseintritts fehle. Selbst bei einer – aktuell nicht konkret zu befürchtenden – Verschlechterung der familiären Situation sei nach den auf die Sachverständigengutachten gestützten Feststellungen des Oberlandesgerichts ein Schadenseintritt "gar zum Nachteil" des Kindes "eher unwahrscheinlich". Außerdem habe das Oberlandesgericht die negativen Folgen der Herausnahme für das Kind nicht hinreichend in seine Verhältnismäßigkeitserwägungen einbezogen. Auf der Grundlage der getroffenen Feststellungen sei davon auszugehen, dass das Kind erheblich unter der Herausnahme leide. Damit hätte sich die Gesamtsituation des Kindes aber nicht verbessert, sondern eher verschlechtert. Die Zurückverweisung gebe dem Oberlandesgericht die Möglichkeit zur Prüfung, ob anstelle der nach derzeitiger Sachlage unzulässigen Fremdunterbringung andere Maßnahmen in Betracht kämen, um der Kindeswohlgefährdung zu begegnen. Das Oberlandesgericht weise zu Recht darauf hin, dass es – als Vorstufe zu einem möglichen Rückfall – maßgeblich auf die Verschlechterung der familiären Situation ankomme. Denkbar sei eine regelmäßig in der Familie verkehrende pädagogische Familienhilfe, die am ehesten eine Verschlechterung der familiären Situation bemerken dürfte. Auch wenn ein solcher Kontrollauftrag nicht primäres Ziel der Familienhilfe s...