1. Mit Rechtshilfeersuchen vom 22.6.2001 begehrte das Nationale Untersuchungsgericht in Strafsachen Buenos Aires, Argentinien, vom zuständigen Gericht im Fürstentum Liechtenstein unter ausdrücklichem Anbot der Gegenseitigkeit die Übersendung von dort näher bezeichneten Unterlagen der vom Beschwerdeführer und der P Anstalt, Vaduz, gegründeten und verwalteten B Stiftung, insbesondere über deren Statuten, die innere Organisation sowie die Kontenbewegungen; dies deshalb, weil in Argentinien gegen A und den Beschwerdeführer ein Verfahren wegen des Verdachts des Betrugs und der untreuen Verwaltung nach Art. 173 Abs. 7 des argentinischen Strafgesetzbuchs anhängig sei. Aus diesem Rechtshilfeersuchen ergibt sich im Wesentlichen folgender Sachverhalt:
Der Beschwerdeführer sei der Sohn von Frau A. Diese wiederum sei mit Herrn R verheiratet gewesen. R sei am 20.6.1991 in Argentinien verstorben. Er habe aus erster Ehe zwei leibliche Nachkommen hinterlassen, nämlich C und P. Im Rahmen des Verlassenschaftsverfahrens seien, so die Verdachtslage im argentinischen Strafverfahren, von A und dem Beschwerdeführer Vermögenswerte des R, über die dieser im Fürstentum Liechtenstein verfügt hatte, nicht angegeben worden. Dadurch solle C und P ein Schaden entstanden sein.
Nach Eingang des Rechtshilfeersuchens wurde lic. iur. Sch, Partner des Rechtsanwaltsbüros B, zu den Gesellschaften und Stiftungen, die von der P Anstalt verwaltet wurden, als Zeuge befragt, wobei dieser ohne Vorbehalt eine Aussage zur Sache ablegte und mehrere Urkunden vorlegte. Aus dieser Einvernahme sowie aus den von ihm vorgelegten Urkunden ergibt sich, dass R und Frau A tatsächlich ab dem 19.7.1976 als wirtschaftlich Berechtigte der "B Foundation" anzusehen waren. Die "B Foundation" wurde im Jahre 1995 aufgelöst. Über welche Vermögenswerte die "B Foundation" konkret verfügte, konnte im Fürstentum Liechtenstein nicht erhoben werden.
2. Mit Beschluss vom 13.12.2001 verfügte das Landgericht gemäß Art. 52 Abs. 5 und Art. 55 Abs. 5 RHG die Ausfolgung diverser Urkunden sowie des Protokolls über die Einvernahme des Zeugen Sch vom 6.12.2001, dies unter den Auflagen des Art. 52 Abs. 4 RHG. Begründet wurde dies im Wesentlichen damit, dass die Voraussetzungen nach dem liechtensteinischen Rechtshilfegesetz für die Gewährung der erbetenen Rechtshilfe, insbesondere die beiderseitige Strafbarkeit, gegeben seien. Das Verschweigen von Vermögenswerten in einem Verlassenschaftsverfahren sei auch nach den Bestimmungen des liechtensteinischen Strafgesetzbuchs strafbar (§§ 146, 147 Abs. 2 StGB).
3. Gegen diesen Beschluss erhob der Beschwerdeführer Beschwerde beim Obergericht und beantragte, die Rechtshilfe wegen Fehlens der Gegenseitigkeit und der beiderseitigen Strafbarkeit zu verweigern.
4. Mit Beschluss vom 16.1.2002 gab das Obergericht der Beschwerde Folge, hob den angefochtenen Beschluss ersatzlos auf und stellte fest, dass die Leistung der Rechtshilfe an das Nationale Untersuchungsgericht in Strafsachen, Buenos Aires, unzulässig sei (Art. 51 Abs. 1 RHG). (...)
5. Gegen diesen Beschluss des Obergerichts erhob die Staatsanwaltschaft Revisionsbeschwerde an den Obersten Gerichtshof, wobei die Beschwerdegründe der Ungesetzlichkeit und Unangemessenheit geltend gemacht wurden. Beantragt wurde die Wiederherstellung des erstinstanzlichen Beschlusses.
6. Mit Beschluss vom 7.3.2002 gab der Oberste Gerichtshof der Revisionsbeschwerde Folge, hob den angefochtenen Beschluss auf und stellte den Beschluss des Landgerichts vom 13.12.2001 wieder her. (...)
7. Gegen diesen Beschluss des Obersten Gerichtshofes erhob der Beschwerdeführer mit Datum vom 24.3.2002 Verfassungsbeschwerde beim Staatsgerichtshof, wobei eine Verletzung des allgemeinen Gleichheitssatzes gemäß Art. 31 Abs. 1 LV sowie des ungeschriebenen Grundrechts auf willkürfreie Behandlung geltend gemacht wird. Beantragt wird, der Staatsgerichtshof wolle der Beschwerde Folge geben, den angefochtenen Beschluss aufheben sowie die Rechtssache an den Obersten Gerichtshof zurückverweisen. Ferner wolle der Staatsgerichtshof dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten zusprechen sowie der vorliegenden Verfassungsbeschwerde die aufschiebende Wirkung gewähren. Begründet wird dies im Wesentlichen wie folgt:
7.1 Das Landgericht habe mit Beschluss vom 13.12.2001 die Ausfolgung diverser Urkunden an die um Rechtshilfe ersuchende Behörde beschlossen. Dieser Ausfolgungsbeschluss sei der einzige Beschluss des Landgerichts in der gegenständlichen Angelegenheit, das heiße, es habe keinen Beschlagnahmebeschluss betreffend diese Urkunden gegeben. Nachdem das Obergericht der Beschwerde des Beschwerdeführers stattgegeben und die Rechtshilfe für unzulässig erklärt habe, habe der Oberste Gerichtshof mit dem hier bekämpften Beschluss den Beschluss des Obergerichts wieder aufgehoben und den Beschluss des Landgerichts vom 13.12.2001 wieder hergestellt. Daraus folge, dass ausschließlich der Ausfolgungsbeschluss des Landgerichts vom 13.12.2001 wieder anzuwenden wäre, obwohl kein...