Die Rechtsbeschwerde ist begründet. Sie führt zur Aufhebung des angefochtenen Beschlusses, soweit bis zur Vollendung des dritten Lebensjahres des jüngsten Kindes zum Nachteil der Antragstellerin entschieden worden ist, und zur Zurückverweisung der Sache an das Oberlandesgericht.
I. Das Oberlandesgericht hat zur Begründung seiner Entscheidung ausgeführt, der Betreuungsunterhaltsanspruch sei mit dem Tod des Erblassers als Nachlassverbindlichkeit auf die Erben übergegangen. Der Unterhaltsbedarf der Antragstellerin richte sich nach ihrem vorgeburtlichen Nettoeinkommen von monatlich 3.588,22 EUR. Die von der Antragstellerin bedarfserhöhend geltend gemachten jährlichen Gehaltserhöhungen seien den beamtenrechtlichen Besoldungstabellen zu entnehmen und im Übrigen gerichtsbekannt.
Ab dem Wiedereinstieg in den Lehrerberuf in Teilzeit unterliege der Umfang der Anrechnung des von der Antragstellerin bezogenen Einkommens analog § 1577 Abs. 2 BGB einer Billigkeitsabwägung. Der Bezug des geringeren Teilzeiteinkommens von rund 1.100 EUR könne nur bis zum Zeitpunkt der vorgelegten Bezügemitteilung, somit bis einschließlich Oktober 2016 angenommen werden. Die hälftige Anrechnung dieses überobligatorischen Einkommens rechtfertige sich dadurch, dass der von der Antragstellerin ausgeübte Lehrerberuf auch Heimarbeitszeiten und vor allem eine überaus hohe zeitliche Flexibilität in den Schulferien ermögliche, so dass eine vollständige Nichtanrechnung der Einkünfte nicht angemessen erscheine.
Etwaige Mieteinnahmen der Antragstellerin könnten nicht bedarfsdeckend angerechnet werden. Die Antragstellerin habe solche Einkünfte bereits vor der Geburt des Kindes gehabt und es sei nicht ersichtlich, dass die vorübergehende Erwerbspause einen maßgeblichen Einfluss auf die Höhe der Mieteinkünfte gehabt hätte und solche somit an die Stelle des reduzierten Erwerbseinkommens getreten wären.
Die Antragstellerin könne ihren nach Abzug des eigenen anzurechnenden Einkommens verbleibenden Bedarf allerdings nicht in voller Höhe unterhaltsrechtlich geltend machen. Ebenso wie der nacheheliche Unterhaltsbedarf nach § 1578 BGB sei auch der Unterhaltsbedarf der Mutter eines nichtehelichen Kindes durch den Grundsatz der Halbteilung begrenzt. Ausgehend von einem monatlichen Nettoeinkommen des Vaters von 3.412 EUR, den Unterhaltsverpflichtungen gegenüber drei Kindern und sonstigen Verbindlichkeiten errechne sich für den Erblasser unter Berücksichtigung eines Erwerbstätigenbonus von 10 % ein unterhaltsrechtlich relevantes Nettoeinkommen von 1.816 EUR.
Da der Verstorbene auch seiner langjährigen und somit nach § 1609 Nr. 2 BGB gleichrangigen Ehefrau zum Unterhalt verpflichtet gewesen sei, sei der jeweilige Unterhaltsbedarf grundsätzlich nach der Dreiteilungsmethode zu berechnen. Soweit die Antragstellerin Trennungsunterhaltsansprüche mit der Begründung bestritten habe, die Eheleute hätten bereits über drei Jahre getrennt gelebt und die Mutter der Antragsgegnerin habe einer Erwerbsobliegenheit unterlegen, seien diese Angaben für das Nichtbestehen eines Trennungsunterhaltsanspruchs und die Gründe hierfür nicht ausreichend substanziiert.
Die Unterhaltslasten des Erblassers seien in dem gesamten verfahrensgegenständlichen Unterhaltszeitraum zu berücksichtigen, da zu einem etwaigen Wegfall einzelner Unterhaltslasten nicht schlüssig vorgetragen worden sei. Für die Bedarfsberechnung, die sich an den Einkommensverhältnissen der Beteiligten zu Lebzeiten des Pflichtigen zu orientieren habe, sei der durch den Todesfall bedingte Bezug einer Witwenrente seitens der Ehefrau ohne Belang.
Der Anspruch nach § 1615 l Abs. 3 Satz 4 BGB könne als Nachlassverbindlichkeit gegen die Erben geltend gemacht werden. Die Antragstellerin könne sich hierbei nicht darauf berufen, dass es für die Berechnung ihres Unterhaltsbedarfs auf die Berücksichtigung des Eigenbedarfs des Verstorbenen sowie des Bedarfs der unterhaltsberechtigten Kinder und der Ehefrau nach dem Todesfall nicht mehr ankomme.
Wenngleich mit dem Todesfall die Kindesunterhaltsverpflichtungen weggefallen seien und naturgemäß auch kein eigener Bedarf des Verstorbenen mehr abzudecken sei, sei die Einschätzung der Antragstellerin, dass ihr eigener Unterhalt nunmehr unter Zugrundelegung des vollen Einkommens des Erblassers ohne Abstriche für dessen eigenen Unterhalt und sonstige Unterhaltslasten zu berechnen wäre, nicht zutreffend. Durch die Fortdauer des Unterhaltsanspruchs über den Tod hinaus solle sichergestellt werden, dass die Mutter des nichtehelichen Kindes, die grundsätzlich kein gesetzliches Erbrecht habe, ihre unterhaltsrechtlich gesicherte Lebensstellung aufrechterhalten könne, das heißt die Lebensstellung, die sie bei Fortleben des Kindesvaters gehabt hätte. Dass der Anspruch als Nachlassverbindlichkeit gegen die Erben geltend zu machen sei, ändere daran nichts. Letztlich hätten es die Erben zu finanzieren, dass die Antragstellerin bei Ausblendung der zu Lebzeiten vorhandenen weiteren Unterhaltspflichten des Verstorbenen im V...