Chi²-Test im Risikocontrolling

Zusammenfassung

Bei vielen Entscheidungen stellt sich die Frage, ob sich betriebliche Ergebnisse nur zufällig ergeben oder ob diese auf nicht zufällige Zusammenhänge oder Unterschiede zurückzuführen sind.

Hypothesen formulieren Vermutungen über Zusammenhänge und Wirkungen und können durch statistische Testverfahren auf ihren Wahrheitsgehalt hin überprüft werden.

Die hier präsentierte Form der Chi²-Tests orientiert sich an den Anforderungen im Controlling und unterstützt die Gewinnung betrieblicher Informationen mittels statistischer Methoden.

Die dabei verwendeten mathematischen Grundlagen bewegen sich im erträglichen Rahmen und sind durch den Einsatz von MS-Excel im Tagesgeschäft leicht umzusetzen.

1 Zufall oder kein Zufall - das ist hier die Frage

Anwendungsfälle

Häufig wird man bei betrieblichen Entscheidungen vor die Frage gestellt, ob bestimmte Ereignisse sich nur zufällig ergeben haben oder ob diese Ereignisse auf nicht zufällige Zusammenhänge oder Unterschiede zurückzuführen sind. Fragestellungen dieser Art treten in allen Bereichen der Betriebswirtschaft auf:

• Im Marketing stellt sich die Frage, ob verschiedene Produktverpackungen einen signifikanten Einfluss auf den Verkaufserfolg haben.
• Im Controlling soll beantwortet werden, ob ein bestimmtes Kostensenkungsprogramm einen nachweisbaren Effekt nach sich gezogen hat oder nicht.

Stets geht es darum, mit objektiven Methoden nachweisen zu können, ob das Auftreten von Ereignissen eher zufälliger oder eher systematischer Natur ist.

Im Bereich dieser Fragestellungen hält die mathematische Statistik einen reichhaltigen Fundus an in der Praxis bewährten Methoden und Verfahren bereit, die unter dem Titel "Signifikanztests" bekannt sind. In diesem Beitrag werden die im Anwendungsbereich wichtigen Chi²-Tests in den Vordergrund gestellt, da sich diese besonders gewinnbringend im Controlling einsetzen lassen. Die dabei verwendeten mathematischen Grundlagen halten sich durch den Einsatz von MS-Excel im erträglichen Rahmen und werden durch eine beiliegende Excel-Datei, die die diskutierten Konzepte an einem praktischen Beispiel erläutert, leicht verständlich. Die Excel-Datei kann darüber hinaus auch als Muster für verwandte Fragestellungen im betrieblichen Alltag dienen.

2 Statistische Grundbegriffe

Erhebung, Merkmale

Zunächst müssen für den betrieblichen Einsatz der Statistik einige Grundbegriffe präzisiert werden. So nennt der Statistiker den Vorgang der Informationsbeschaffung eine Erhebung, wobei er zwischen einer Teilerhebung und einer Vollerhebung unterscheidet. Bei einer Erhebung werden Daten über bestimmte Eigenschaften oder auch Merkmale von Objekten zusammengetragen. Während Eigenschaften meist Überbegriffe bezeichnen, die auf alle Objekte zutreffen, wie etwa den Preis oder das Qualitätsniveau, besitzt jedes einzelne Objekt seine eigene Ausprägung für jede Eigenschaft, d. h. seinen eigenen Preis von 16,50 EUR oder etwa sein eigenes Qualitätsniveau der Stufe gering, mittel oder hoch.

Skalen

Meist werden den Eigenschaften der Objekte Zahlenwerte zugeordnet, d. h., es findet eine Messung der Merkmalsausprägungen der Objekte statt. Dazu verwendet man meist Skalen, die die Ausprägungen der Eigenschaften durch numerische Größen kodieren. In der Praxis unterscheidet man zwischen

• metrisch skalierten Größen (heterograder Fall) wie etwa dem Einkommen, dem Alter oder dem Gewicht, die dadurch gekennzeichnet sind, dass mit diesen Größen mathematische Rechnungen wie etwa die Mittelwertbildung durchgeführt werden können,
• nicht metrisch skalierten Größen (homograder Fall) wie etwa Geschlecht, Nationalität oder Religion, bei denen mathematische Verknüpfungen der Messgrößen wie die Mittelwertbildung keinen Sinn machen. Im homograden Fall betrachtet man meist relative Häufigkeiten oder Anteilswerte über das Auftreten bestimmter Merkmalsausprägungen in der Stichprobe.^[1]

Stichproben

Ein in diesem Zusammenhang in der Praxis ständig auftretendes Problem ist die Auswahl einer geeigneten Stichprobe, d. h. die Bestimmung einer geeigneten Menge von Objekten, die stellvertretend für die Menge aller interessierenden Objekte oder auch die Grundgesamtheit steht. Eine Stichprobe oder auch Zufallsauswahl ist dadurch gekennzeichnet, dass die Auswahl der Objekte, die in der Stichprobe untersucht werden, zufällig erfolgt, d. h., jedes Objekt der Grundgesamtheit besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen.

Hochrechnung

Diese Fragestellung ist zentral für die gesamte Statistik, denn allgemein gültige Erkenntnisse über die Grundgesamtheit sind immer nur dann aus der Stichprobe ableitbar, wenn die ausgewählte Menge der Objekte die wichtigsten Merkmale der Grundgesamtheit auch repräsentiert.^[2] Nur in diesem Fall ist es möglich, die Ergebnisse der Stichprobe mittels einer Hochrechnung auf die Grundgesamtheit zu übertragen.

[1] Hamann/Erichson:,Marktforschung, 4. Aufl. 2006.

[2] Hamann/Erichson:,Marktforschung, 4. Aufl. 2006.

3 Parameterschätzungen

Schätzung aus Stichprobenparametern

In der Praxis werden Stichproben häufig zur Schätzung von statistischen Parametern großer Grundgesamtheiten eingesetzt, u...