Monte-Carlo-Simulation / 2 Wie geht man bei der Monte-Carlo-Simulation vor?

Die allgemeine Vorgehensweise zur Durchführung einer Monte Carlo-Simulation lässt sich wie folgt beschreiben:

1. Erzeugen der für die Monte Carlo-Simulation benötigten Zufallszahlen.
2. Umwandeln der Zufallszahlen in die benötigte Verteilung.
3. Durchführen eines Schrittes einer Monte-Carlo-Simulation gemäß den gezogenen Zufallszahlen und der dahinter liegenden Verteilung.
4. Wiederholen der Schritte 1, 2 und 3, bis eine ausreichende Anzahl von Simulationen (i. S. eines Random-Engineering, z. B. 10.000 Mal) generiert wurde, um hieraus stabile Verteilungen und Statistiken abzuleiten.
5. Endauswertung: Bilden der Mittelwerte (Verteilungen) der gemessenen Größen, Berechnung des Value-at-Risk, Ermittlung der statistischen Fehler etc.

Zur Verdeutlichung wird im Folgenden ein einfaches Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation gegeben.

Praxis-Beispiel

Einsatz bei zwei Risiken

Es seien beispielsweise zwei unabhängige Risiken R1 und R2 gegeben, mit jeweils fünf verschiedenen Ausprägungen (-2, -1, 0, 1, 2). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert angenommen wird, betrage jeweils 20 %. Die gemeinsame Auswirkung der beiden Risiken, das Gesamtrisiko R, liegt im Bereich von - 4 bis 4 und wird durch Tabelle 1 beschrieben.

R2/R1	-2	-1	0	1	2
-2	-4	-3	-2	-1	0
-1	-3	-2	-1	0	1
0	-2	-1	0	1	2
1	-1	0	1	2	3
2	0	1	2	3	4

Tab. 1: Mögliche Szenarien für das Gesamtrisiko R

Man sieht, dass es 25 mögliche Szenarien gibt. Beispielsweise gibt es genau ein Szenario (Kombination von R1 und R2) mit einem Schadenswert für R von -4; aber es gibt 5 Szenarien mit einem Wert von 0. Ein Ausprägung des Gesamtrisikos R mit dem Wert 0 ist also wesentlich wahrscheinlicher als der Wert -4.

Die möglichen Ausprägungen von R mit den jeweiligen Häufigkeiten bzw. Eintrittswahrscheinlichkeiten zeigt Tabelle 2:

Wert ("Schaden")	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Häufigkeit	1	2	3	4	5	4	3	2	1
Wahrscheinlichkeit	4 %	8 %	12 %	16 %	20 %	16 %	12 %	8 %	4 %

Tab. 2: Eintrittswahrscheinlichkeit der möglichen Ausprägungen von R

Die analytische Lösung für den Erwartungswert für das Gesamtrisiko ist also E(R) = 0.

Bei der Monte-Carlo-Simulation löst man das Problem nicht analytisch, sondern mit Hilfe von Zufallszahlen. In diesem Fall benötigt man für jeden Simulationsdurchlauf zwei Zufallszahlen Z1 und Z2, die jeweils größer oder gleich 0 und kleiner 1 sind. Mit deren Hilfe bestimmt man realisierte Werte für R1 und R2. Dazu muss man eine Funktion generieren, die unter Beachtung der Eintrittswahrscheinlichkeiten einer Zufallszahl einen Wert für ein Risiko zuweist. Für das Beispiel sei eine solche Funktion durch Tabelle 3 charakterisiert:

Zi	0 ≤ z < 0,2	0,2 ≤ z < 0,4	0,4 ≤ z < 0,6	0,6 ≤ z < 0,8	0,8 ≤ z < 1
Wert (Ri)	-2	-1	0	1	2

Tab. 3: Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten (Bandbreiten) zu den Ereignissen R

Werden also in einem Simulationsdurchlauf beispielsweise für Z1 die Zufallszahl 0,3584 und für Z2 0,8897 gezogen, so hat R1 den Wert -1 und R2 den Wert 2 (vgl. Tab. 4). Damit hätte man ein Gesamtrisiko für R von 1 realisiert (R = -1 + 2 = 1).

Zi	0 ≤ z < 0,2	0,2 ≤ z < 0,4	0,4 ≤ z < 0,6	0,6 ≤ z < 0,8	0,8 ≤ z < 1
Z1		0,3584
Z2					0,8897
Wert (Ri)	-2	-1	0	1	2

Tab. 4: Ein exemplarischer Simulationsdurchlauf und das Ergebnis

Dieses Vorgehen wiederholt man nun beispielsweise 10.000 Mal, wodurch man jeweils 10.000 Ausprägungen von Z1, Z2 und damit auch von R1, R2 sowie R erhält. Daraus kann nun beispielsweise der Mittelwert der 10.000 realisierten Ausprägungen von R als ein Schätzer für den tatsächlichen Erwartungswert von R ermittelt werden. Man kann aber auch ein Histogramm für die Häufigkeitsverteilungen der Werte des Gesamtrisikos erstellen, das damit die geschätzte Wahrscheinlichkeitsverteilung von R wiedergibt.