Risikobewertung für Investitionen: Bestimmung risikogere ... / 2.3 Modellbeispiel für Monte-Carlo-Simulation

Es seien beispielsweise 2 unabhängige Risiken R1 und R2 gegeben, mit jeweils 5 verschiedenen Ausprägungen (-4, -2, 0, 2, 4). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Wert angenommen wird, betrage jeweils 20 % (Gleichverteilung). Die gemeinsame Auswirkung der beiden Risiken, also das aggregierte Gesamtrisiko R, liegt somit im Bereich von -8 bis +8 (vgl. Tab. 1).

R2/R1	–4	–2	0	2	4
-4	–8	–6	–4	–2	0
-2	–6	–4	–2	0	2
0	–4	–2	0	2	4
2	–2	0	2	4	6
4	0	2	4	6	8

Tab. 1: Mögliche Szenarien für das Gesamtrisiko

Es wird deutlich, dass insgesamt 25 mögliche Szenarien für diese Einzelrisiken existieren. Beispielsweise gibt es genau ein Szenario (Kombination von R1 und R2) mit einem Schadenswert für R von -8; aber es gibt 4 Szenarien mit einem Wert von 2. Der Wert 2 ist für die Ausprägung des Gesamtrisikos R also wesentlich wahrscheinlicher als der Wert -8 (vgl. Tabelle 2).

Wert ("Schaden")	–8	–6	–4	–2	0	2	4	6	8
Häufigkeit	1	2	3	4	5	4	3	2	1
Wahrscheinlichkeit	4 %	8 %	12 %	16 %	20 %	16 %	12 %	8 %	4 %

Tab. 2: Eintrittswahrscheinlichkeit der möglichen Ausprägungen von R

Zi	0 ≤ Zi < 0,2	0,2 ≤ Zi < 0,4	0,4 ≤ Zi < 0,6	0,6 ≤ Zi < 0,8	0,8 ≤ Zi < 1
Wert (Ri)	–4	–2	0	2	4

Tab. 4: Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten (Bandbreiten) zu den Ereignissen R

Bei der Monte-Carlo-Simulation wird das oben beschriebene Problem der Bestimmung des Gesamtrisikoumfangs R nicht analytisch gelöst, sondern mithilfe von Zufallszahlen. Für die technische Umsetzung benötigt man für jeden Simulationslauf 2 Zufallszahlen Z1 und Z2, die jeweils größer oder gleich 0 und kleiner 1 sind. Mit deren Hilfe werden die realisierten Werte für R1 und R2 bestimmt. Dazu muss eine Funktion gebildet werden, die unter Beachtung der Eintrittswahrscheinlichkeiten einer Zufallszahl jedem Risiko einen Wert zuweist (vgl. Tab. 3).

Werden also in einem Simulationsdurchlauf beispielsweise für Z1 die Zufallszahl 0,3584 und für Z2 0,8897 gezogen, so nimmt R1 den Wert -2 und R2 den Wert 4 an. Damit ergäbe sich ein Gesamtrisiko für R von 2 (R = R1+ R2 = -2 + 4 = 2). Dieses Vorgehen wird nun beispielsweise 50.000-mal wiederholt, wodurch man jeweils 50.000 Ausprägungen von Z1, Z2 und damit auch von R1, R2 sowie R erhält. Auf dieser Basis kann nun z. B. der Mittelwert der realisierten Ausprägungen von R als ein Schätzer für den tatsächlichen Erwartungswert von R ermittelt werden. Gleichzeit lässt sich aber auch ein Histogramm für die Häufigkeitsverteilungen der Werte des Gesamtrisikos erstellen, das die geschätzte Wahrscheinlichkeitsverteilung von R wiedergibt (vgl. Abb. 4 im Fallbeispiel, Kap. 4).

Abb. 2: Ablauf der Risikosimulation im Überblick^[1]

[1] Quelle: Future Value Group AG.