Risikomanagement: Manipulationsprüfungen mit statistisch ... / 4 Beispiel

Die Begriffe sollen an einem praktischen Beispiel verdeutlicht werden, bei dem die gemeldeten Tagesergebnisse einer Filiale eines Unternehmens mit statistischen Methoden auf ihre Richtigkeit hin überprüft werden sollen. Dazu werden 55 zusammenhängende Tagesergebnisse der Filiale, die an die Unternehmensleitung übermittelt wurden, untersucht. Für die Geschäftsführung ist es nun interessant zu wissen, ob die vorliegenden Tagesergebnisse zu der Annahme Anlass geben, dass es zu Manipulationen an den Tagesergebnissen gekommen sein könnte.

Den Einstieg in die Untersuchungen soll die Frage klären, in welchem Bereich sich die durchschnittlichen Tagesergebnisse über längere Zeiträume bewegen werden, wenn man die 55 vorliegenden Werte als Stichprobe einer größeren Grundgesamtheit, d. h. einer längeren Geschäftsperiode, auffasst. Das durchschnittliche Tagesergebnis erhält man als Mittelwertbildung:

µ = das durchschnittliche Tagesergebnis

Die Grundgesamtheit umfasst hierbei die Gesamtmenge der Tagesergebnisse einer längeren Periode, die mit insgesamt N Geschäftstagen angenommen werden soll. Bezeichnet man mit xi das wahre Tagesergebnis am Geschäftstag i der Grundgesamtheit, so ergibt sich für das mittlere (wahre) Tagesergebnis µ der Wert:

µ kann nur dann exakt bestimmt werden, wenn alle Tagesergebnisse der längeren Periode ausgewertet werden, was bei einer großen Grundgesamtheit in Gestalt einer Vollerhebung sehr aufwändig wäre. Deshalb hat man sich entschlossen, den Aufwand der Bestimmung einer Vollerhebung zu reduzieren, indem man den wahren Wert µ aus der Stichprobe der vorliegenden 55 Tagesergebnisse heraus schätzt.

Wie bereits erwähnt wurde, sind der empirische Mittelwert sowie die zugehörigen Zufallsfehler normal verteilt. Da der Stichprobenumfang größer als 30 ist, kann man den empirischen Mittelwert

zusammen mit der empirischen Varianz

für die Schätzung des wahren Mittelwertes verwenden. Die empirische Standardabweichung wird im Beispiel direkt mit der Excel-Funktion STABW aus der Stichprobe heraus berechnet und kann der beiliegenden Excel-Datei in der Tabelle "Schätzung" entnommen werden. Als Ober- und Untergrenzen für das Konfidenzintervall für µ mit 95 % Sicherheit entnimmt man der Tabelle "Schätzung" die folgenden Werte:

Obergrenze für µ:

x¯ + 1,96 * s/√n = 2.591,93 + 1,96 * 2.633,88/√55 = 3.288,02

Untergrenze für µ:

x¯ - 1,96 * s/√n = 2.591,93 – 1,96 * 2.633,88/√55 = 1.895,83.

Dies bedeutet, dass mit 95%iger Sicherheit das mittlere Tagesergebnis der Filiale in der längeren Periode (Grundgesamtheit) zwischen 3.288 EUR und 1.896 EUR liegen wird. Der große Abstand zwischen der Intervallobergrenze und der Obergrenze ließe sich durch eine Vergrößerung des Stichprobenumfangs weiter verkleinern.