Risikomanagement: Manipulationsprüfungen mit statistisch ... / 10 Trendtest

Geht man von der Hypothese der Zufälligkeit für eine Zahlenreihe aus, so ergibt sich hieraus, dass die Zahlenwerte der Originalreihe keinem speziellen Trend, also insbesondere keinem steigenden oder fallenden Trend folgen. Kann innerhalb einer Zahlenreihe aber ein Trend nachgewiesen werden, dann wäre damit die Zufälligkeitshypothese widerlegt. Diese Überlegung kann man zu einem Testverfahren weiterentwickeln, was der Inhalt des nun betrachteten Trendtests, genauer des Rekordbrechertests, ist.

Der Rekordbrechertest misst die Höhen- und Tiefenrekorde in einer Folge von Beobachtungswerten. Dabei definiert man einen Rekordbrecher als Folge, die alle vorherigen Werte über- bzw. unterbietet. Die Anzahl der Rekordbrecher nach oben bzw. unten bezeichnen wir mit R^* bzw. R*:

R* =	Anzahl derjenigen Werte, die höher sind als der jeweils letzte höchste Wert.
R* =	Anzahl derjenigen Werte, die tiefer sind als der jeweils letzte tiefste Wert.

Als Prüfgröße für den Test wird die Differenz der beiden Anzahlen von Rekordbrechern berechnet:

R = R^* – R*

Die erste Messung stellt sowohl einen Höhen- als auch einen Tiefenrekord dar und wird daher nicht mitgezählt. In unserem Beispiel der Tagesergebnisse der Filiale entsteht folgende Reihe von Rekordbrechern:

1273, 1134*, 989*, 1346^*, 523*, 3456^*, 8246^*, 521*, 325*, 23*, 8529^*, 9385^*, 21*

Folglich hat man in der Folge der 55 Tagesergebnisse genau 5 Rekordbrecher nach oben und genau 7 Rekordbrecher nach unten vorliegen, d. h., es gilt in unserem Beispiel:

R^* = 5,

R* = 7

und

R = R^* – R* = 5 – 7 = -2

Im allgemeinen Fall nähert sich für n > 6 die Verteilung von R unter der Gültigkeit der Nullhypothese, d. h. der Zufälligkeit der beobachteten Zahlenreihe, einer Normalverteilung an, die durch folgenden Erwartungswert und folgende Varianz gekennzeichnet ist:

Anhand des Vorzeichens der Prüfgröße R ist im Falle der Verwerfung der Nullhypothese ablesbar, ob der Trend über die gesamte Beobachtungsfolge monoton steigend (positives Vorzeichen) oder monoton fallend ist (negatives Vorzeichen). In unserem Beispiel der 55 Tagesergebnisse berechnen sich Varianz und Standardabweichung wie folgt:

Wäre die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von 5 % nicht richtig, so müsste die empirische Prüfgröße R außerhalb des um den Nullpunkt symmetrischen Konfidenzintervalls (- 1,96 * σR; + 1,96 * σR) liegen. Da aber –5,25 ≤ R ≤ 5,25 erfüllt ist wegen R = -2, kann die Nullhypothese nicht mit mehr als 95 % Sicherheit verworfen werden, d. h., es ist nicht signifikant zu widerlegen, dass die Originalreihe der Tagesergebnisse zufällig entstanden ist. Trotz dieses Ergebnisses ist anhand der Prüfgröße R ein monoton fallender Trend über die Werte berechenbar, der aber, wie bereits erwähnt, nicht signifikant ist.