Die gem. § 85 FamFG i.V.m. §§ 104 Abs. 3 S. 1, 567 ff. ZPO zulässige sofortige Beschwerde der Antragsgegnerin hat zwar nicht auf dem Boden der Rechtsmittelbegründung, aber im Ergebnis Erfolg; sie führt zur Zurückweisung des Kostenfestsetzungsantrags des Antragstellers.
Diesem steht kein Anspruch auf Kostenfestsetzung gegen die Antragsgegnerin zu, weil ihm die Kosten, deren Festsetzung er beantragt hat, selbst nicht gegenüber der Landeskasse zur Last fallen. Denn der Kostenansatz vom 21.1.2017, in welchem beim Antragsteller die hier verfahrensgegenständlichen Gerichtsgebühren (Nr. 1310 FamGKG-KostVerz.) und Sachverständigenauslagen (richtig: Nr. 2005 FamGKG-KostVerz.) von insgesamt 4.278,98 EUR erhoben worden sind, von denen der Antragsteller die Hälfte – also 2.139,49 EUR – gegen die Antragsgegnerin festsetzen lassen will, ist in Bezug auf diesen Betrag fehlerhaft. Der Antragsteller haftet der Landeskasse gegenüber insoweit aus keinem Rechtsgrund und kann sich daher auch hinsichtlich dieses Kostenanteils nicht bei der Antragsgegnerin schadlos halten.
Denn das Verfahren ist durch den zwischen den Beteiligten am 13.12.2016 geschlossenen gerichtlich gebilligten Vergleich beendet worden, in welchem die Kosten des Verfahrens gegeneinander aufgehoben worden sind.
Dann aber haftet der Antragsteller nicht als Entscheidungsschuldner (§ 24 Nr. 1 FamGKG). Als Übernahmeschuldner (§ 24 Nr. 2 FamGKG) haftet er nur für den von ihm auf sich behaltenen hälftigen Teil der Kosten (§ 1 Abs. 1 S. 1 FamGKG), also nicht für die auf die Antragsgegnerin entfallende, von ihm nicht übernommene Hälfte dieser (vgl. dazu nur OLG Düsseldorf FamRZ 2019, 912; OLG Frankfurt AGS 2018, 29; OLG Bamberg FamRZ 2015, 525 m. Anm. Hansens in zfs 2015, 44 [= AGS 2014, 449]), und zwar auch nicht als Gesamtschuldner nach § 26 Abs. 1 FamGKG; denn bei Bruchteilsschuldnern besteht eine gesamtschuldnerische Haftung nur insoweit, als ein Beteiligter auch aus anderem Rechtsgrund für die Kosten des anderen Beteiligten haftet (OLG Karlsruhe NJW-RR 2001, 1365 [= AGS 2002, 212]; HK-FamGKG/ Volpert, 3. Aufl., § 26, Rn 24, 37 m.w.N.). Für den Kostenteil der Antragsgegnerin aber haftet der Antragsteller – abweichend von der wohl dem Kostenansatz zugrunde liegenden, nicht mit einer Begründung versehenen Auffassung des Kostenbeamten – gerade nicht als Antragsschuldner i.S.v. § 21 Abs. 1 FamGKG. Denn es entspricht – soweit ersichtlich – allgemeiner Meinung und der Senatsrechtsprechung, dass das Umgangsverfahren nach § 1684 BGB – wie das vorliegend dem Kostenansatz zugrunde liegende – kein Verfahren ist, das im Sinne jener Vorschrift "nur durch Antrag eingeleitet werden" kann, vielmehr handelt es sich bei diesem Verfahren um ein Amtsverfahren (Senatsbeschluss vom 10.10.2011 – 6 WF 104/11, FamRZ 2012, 319; vgl. auch KG FamRZ 2019, 708; Völker/Clausius, FamRMandat – Sorge- und Umgangsrecht, 7. Aufl., § 2, Rn 215 und § 10, Rn 31).
Haftet mithin aber der Antragsteller aus keinem rechtlichen Gesichtspunkt als Zweitschuldner für den von der Antragsgegnerin im Vergleich übernommenen Hälfteanteil der Kosten, so kann er insoweit auch nicht die Antragsgegnerin in Rückgriff nehmen. Vielmehr – und allerdings – steht es dem Antragsteller frei, den Kostenansatz vom 30.1.2017 im Wege der (unbefristeten) Erinnerung nach § 57 FamGKG anzugehen, um diesen auf 2.139,49 EUR ermäßigen zu lassen.