Die Beteiligten, beide Deutsche, streiten im Beschwerdeverfahren darüber, ob das FamG zu Recht die erstinstanzlichen Verfahrenskosten vollumfänglich dem Antragsgegner auferlegt hat.
Aus der rechtskräftig geschiedenen Ehe der Betreuerin des Antragstellers und des Antragsgegners gingen der Antragsteller, geboren am 12.12.1987, und die Tochter M., geboren am 12.10.1993, hervor.
Mit am 13.1.2010 beim FamG eingegangenem Antrag, der wegen der Einzelheiten in Bezug genommen wird, hatten der Antragsteller und M. den Antragsgegner auf Zahlung von Kindesunterhalt in Anspruch genommen und um Bewilligung von Verfahrenskostenhilfe für das Verfahren nachgesucht.
Durch Beschl. v. 4.3.2010 hatte das FamG dem Antragsteller teilweise Verfahrenskostenhilfe bewilligt und M. Verfahrenskostenhilfe versagt.
Mit der Teilbewilligung angepasstem Antrag v. 29.3.2010 hat der Antragsteller beantragt, dem Antragsgegner aufzugeben, an ihn für Januar 2010 rückständigen Unterhalt von 52,60 EUR und ab Februar 2010 monatlichen Unterhalt von 169,60 EUR zu zahlen.
Mit am 15.4.2010 eingegangenem – wohl irrtümlich unter dem 14.3.2010 gefertigtem – Schriftsatz hat der Antragsgegner diesen Antrag unter Verwahrung gegen die Kostenlast mit der Maßgabe anerkannt, dass der Unterhalt von 169,60 EUR für April 2010 gezahlt und der Antrag daher insoweit abzuweisen sei.
In der mündlichen Verhandlung v. 11.5.2010 haben die Beteiligten den Antrag hinsichtlich des Unterhalts für April 2010 übereinstimmend für erledigt erklärt. Der Antragsteller hat seinen Antrag v. 29.3.2010 gestellt, betreffend den Unterhalt ab Februar 2010 nach Maßgabe der Erledigungserklärung für April 2010. Der Antragsgegner hat hinsichtlich des Unterhalts für Januar bis März und für Mai 2010 Antragsabweisung beantragt, da der Unterhalt gezahlt worden sei, ab Juni 2010 hat er den Antrag unter Verwahrung gegen die Kostenlast anerkannt.
Durch den angefochtenen Beschl. v. 1.6.2010, auf den Bezug genommen wird, hat das FamG dem Antragsgegner aufgegeben, an den Antragsteller Kindesunterhalt für Januar bis März 2010 in Höhe von insgesamt 391,80 EUR und ab Mai 2010 in Höhe von monatlich 169,60 EUR zu zahlen (Abs. 1) und hat die Kosten des Verfahrens dem Antragsgegner auferlegt (Abs. 2).
Gegen diesen ihm am 2.6.2010 zugestellten Beschluss wendet sich der Antragsgegner mit seiner am 16.6.2010 beim FamG eingegangenen Beschwerde, mit der er beantragt, unter Abänderung der Kostenentscheidung im angefochtenen Beschluss von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen und anzuordnen, dass jeder Beteiligte seine außergerichtlichen Kosten selbst trägt.
Der Antragsteller bittet um Zurückweisung der Beschwerde.