Die zulässige Beschwerde der Landeskasse hat auch in der Sache Erfolg und führt zu der aus dem Tenor ersichtlichen Abänderung der amtsgerichtlichen Kostenentscheidung. Die Anschlussbeschwerde des Kindesvaters ist dagegen unzulässig.
1. a) Die Hauptbeschwerde ist zulässig, da die beschwerdeführende Landeskasse – vertreten durch den Bezirksrevisor – zwar nicht an dem Verfahren beteiligt war, durch die angefochtene Kostenentscheidung indes gleichwohl in ihren Rechten betroffen und damit beschwerdeberechtigt i.S.d. § 59 Abs. 1 FamFG ist.
Die Beschwerdefrist ist schon deshalb gewahrt, weil der angefochtene Beschluss der nicht an dem Verfahren beteiligten Landeskasse nicht bekanntgegeben wurde, sondern diese erst durch Vorlage der Akte im Rahmen des Kostenfestsetzungsverfahrens von dem Beschluss Kenntnis erlangt hat. Ausweislich der Zustellungsurkunde wurde der Beschluss auch der beteiligten Kindesmutter bis dato nicht zugestellt (§ 63 Abs. 3 S. 2 FamFG).
b) Auch in der Sache hat die Beschwerde der Landeskasse Erfolg. Der Staatskasse können die außergerichtlichen Kosten des Kindesvaters nicht auferlegt werden, da sie weder an dem Verfahren beteiligt war noch als Dritte i.S.d. § 81 Abs. 4 FamFG in Betracht kommt (vgl. hierzu Keidel/Zimmermann, FamFG, 16. Aufl., § 81 Rn 73 m.w.N.).
Scheidet somit die Staatskasse als Kostenschuldnerin aus, entspricht es billigem Ermessen, dass der Kindesvater – unabhängig von dem für ihn erfolgreichen Ausgang des Verfahrens – seine außergerichtlichen Kosten selbst trägt. In Sorge- und Umgangssachen entspricht es regelmäßig der Billigkeit, die Erstattung außergerichtlicher Kosten nicht anzuordnen (OLG Naumburg FamRZ 2014, 687; OLG Köln MDR 2012, 289; KG MDR 2012, 473). Dem Jugendamt sind nur unter engen Voraussetzungen Kosten aufzuerlegen, insbesondere in Fällen des § 81 Abs. 2 FamFG (OLG Celle FamRZ 2012, 1896). Eine derartige Konstellation, die eine Kostentragung durch das Jugendamt ausnahmsweise geboten erscheinen lässt, ist vorliegend nicht ersichtlich.
2. Die von dem Kindesvater mit dem Ziel einer Kostenauferlegung zum Nachteil des Jugendamtes eingelegte Anschlussbeschwerde ist – unabhängig von ihrer aus den oben genannten Gründen gegebenen Erfolglosigkeit – bereits unzulässig, da eine solche Anschlussbeschwerde nach § 66 FamFG nur in Betracht kommt, wenn sich die Hauptbeschwerde gegen eine Entscheidung des Ausgangsgerichts zur Hauptsache wendet. Allein ein Hauptangriff gegen die Kostengrundentscheidung kann nicht zu einer Verschlechterung der Hauptsachentscheidung zu Lasten eines anderen Beteiligten führen. Er rechtfertigt deshalb auch keine Anschlussbeschwerde. Will ein Beteiligter auf die Beschwerde eines anderen Beteiligten gegen die Kostenentscheidung eine Verbesserung zu seinen Gunsten erreichen, bedarf er dafür nicht der Anschlussbeschwerde, weil insoweit das Verbot der reformatio peius nicht zur Anwendung kommt (MüKo-FamFG/Fischer, FamFG, 2. Aufl., 2013, § 66 Rn 8–12, beck-online).
Die Wertfestsetzung für das Beschwerdeverfahren beruht auf § 40 Abs. 1 FamGKG.