Die Rechtsbeschwerde ist zulässig und begründet.
1. Die Rechtsbeschwerde ist gem. § 113 Abs. 1 S. 2 FamFG i.V.m. § 574 Abs. 1 S. 1 Nr. 2 ZPO statthaft.
Der Senat teilt die Auffassung des Beschwerdegerichts, wonach im vorliegenden Fall die sofortige Beschwerde gem. § 567 ZPO statthaft ist. Demgemäß richtet sich die Rechtsbeschwerde nach § 574 Abs. 1 ZPO (BGHZ 184, 323 = FGPrax 2010, 154 Rn 5).
Allerdings ist es in Rspr. und Lit. umstritten, ob die in Ehe- und Familienstreitsachen ergangenen isolierten Kostenentscheidungen mit der Beschwerde nach § 58 FamFG oder mit der sofortigen Beschwerde gem. § 567 ZPO anzufechten sind. Die Frage stellt sich immer dann, wenn sich die Hauptsache anderweitig, in der Regel – wie auch hier – streitlos erledigt hat.
Von ihrer Beantwortung hängt nicht nur ab, nach welchen Normen sich das Verfahren der Rechtsbeschwerde richtet, sondern auch, welche Anforderungen an das Beschwerdeverfahren zu stellen sind (s. dazu auch Schürmann FuR 2010, 425, 429). Beachtliche Unterschiede bestehen namentlich hinsichtlich der erforderlichen Beschwer (§ 61 FamFG: über 600,00 EUR allerdings mit Zulassungsmöglichkeit; § 567 Abs. 2 ZPO über 200,00 EUR), der Beschwerdefrist (§ 63 Abs. 1 FamFG: binnen eines Monats; § 569 Abs. 1 S. 1 ZPO: Notfrist von zwei Wochen), der Möglichkeit der Abhilfe (§ 68 Abs. 1 S. 2 FamFG: nicht gegeben; § 572 Abs. 1 S. 1 ZPO: Abhilfe möglich), der Besetzung des Beschwerdegerichts (§ 68 Abs. 4: grundsätzlich gesamter Spruchkörper; § 568 Abs. 1 S. 1 ZPO: originärer Einzelrichter) sowie hinsichtlich des Erfordernisses einer Rechtsbehelfsbelehrung, die nur nach § 39 FamFG vorgesehen ist.
a) Einerseits wird vertreten, dass Kostenentscheidungen, die in Ehe- und Familienstreitsachen erfolgen, mit der Beschwerde gem. § 58 Abs. 1 FamFG anzufechten seien. Dies wird u.a. damit begründet, dass eine isolierte Kostenentscheidung in solchen Verfahren eine Endentscheidung im Sinne der §§ 38 Abs. 1, 58 Abs. 1 FamFG darstelle. Durch § 113 Abs. 1 S. 1 FamFG würden die Vorschriften zum Beschwerderecht (§§ 58 bis 69 FamFG) nicht verdrängt. Im Übrigen ersetze § 243 FamFG als lex specialis in Unterhaltssachen die Kostenbestimmungen der ZPO (OLG Oldenburg FamRZ 2010, 1831 f.; im Ergebnis ebenfalls für eine Anwendung von § 58 FamFG: OLG Bremen Beschl. v. 18.4.2011 – 4 WF 23/11; OLG Brandenburg NJW-RR 2010, 943; Keidel/Giers, FamFG, 16. Aufl., § 243 Rn 11; Schürmann FuR 2010, 425, 428 f.; vgl. auch Rüntz/Viefhues FamRZ 2010, 1285, 1292).
b) Demgegenüber spricht sich die wohl überwiegende Meinung für die Statthaftigkeit der sofortigen Beschwerde gem. § 567 ZPO aus (OLG Bamberg FamRZ 2011, 1244 f.; KG NJW 2010, 3588; OLG Nürnberg FamRZ 2010, 1837, OLG Frankfurt FamRZ 2010, 1696 f.; Schulte-Bunert/Weinreich FamFG 2. Aufl. § 58 Rn 14; Keidel/Meyer-Holz FamFG 16. Aufl. § 58 Rn 97; Prütting/Helms/Bömelburg FamFG § 243 Rn 11; Bömelburg FPR 2010, 153, 158; Schael FPR 2009, 11, 13; Wendl/Schmitz Das Unterhaltsrecht in der familienrichterlichen Praxis 8. Aufl. § 10 Rn 603). Dabei wird u.a. auf die Gesetzesbegründung Bezug genommen, wonach ausweislich der Subsidiaritätsklausel des § 58 Abs. 1 FamFG über § 113 Abs. 1 S. 2 FamFG die §§ 91a Abs. 2 und 269 Abs. 5 ZPO zur Anwendung gelangen, die als statthafte Rechtsmittel ausdrücklich die sofortige Beschwerde nach §§ 567 ff. ZPO bestimmten (vgl. etwa OLG Bamberg FamRZ 2011, 1244, 1245).
c) Der Senat folgt der zuletzt genannten Auffassung.
Dass in Fallkonstellationen der vorliegenden Art die sofortige Beschwerde nach § 567 ZPO das statthafte Rechtsmittel ist, folgt nicht schon aus dem Wortlaut der in Betracht kommenden Vorschriften (vgl. Musielak/Borth/Grandel FamFG, 2. Aufl. § 58 Rn 6). Die Anwendbarkeit der ZPO-Vorschriften ergibt sich vielmehr aus einer Gesamtschau der weiteren Auslegungskriterien.
aa) Gem. § 58 Abs. 1 FamFG findet die Beschwerde gegen die im ersten Rechtszug ergangenen Endentscheidungen der AG und LG in Angelegenheiten nach diesem Gesetz statt, sofern durch Gesetz nichts anderes bestimmt ist. Dies könnte für die Anwendung der Beschwerde nach § 58 FamFG sprechen, weil die nach streitloser Hauptsacheregelung ergangene Kostenentscheidung eine Endentscheidung nach §§ 38, 58 FamFG darstellt (BT-Drucks 16/12717 S. 60; Schürmann FuR 2010, 425, 428).
Andererseits ist gem. § 113 Abs. 1 S. 1 FamFG in Ehesachen und Familienstreitsachen, wozu gem. § 112 Nr. 1 FamFG auch die Unterhaltssachen nach § 231 Abs. 1 FamFG zählen, die Anwendung der Kostenregelungen der §§ 80 bis 85 FamFG ausgeschlossen; nach § 113 Abs. 1 S. 2 FamFG gelten die allgemeinen Vorschriften der Zivilprozessordnung und diejenigen über das Verfahren vor den Landgerichten entsprechend. Ausweislich § 99 Abs. 2 S. 1 ZPO findet gegen die Kostenentscheidung die sofortige Beschwerde statt, wenn die Hauptsache durch eine aufgrund eines Anerkenntnisses ausgesprochene Verurteilung erledigt ist. Ebenso sieht § 91a Abs. 2 S. 1 ZPO die sofortige Beschwerde gegen die Kostenentscheidung bei Erledigung der Hauptsache...