Gründe: A. [1] Das antragstellende Land macht als Träger der Unterhaltsvorschusskasse Kindesunterhalt aus übergegangenem Recht für den Zeitraum von Juni 2016 bis einschließlich Dezember 2017 gegen den Antragsgegner geltend.
[2] Der Antragsgegner ist der Vater der im August 2010 geborenen M., die aus seiner inzwischen geschiedenen Ehe mit der Kindesmutter hervorgegangen ist, sowie eines im März 2004 geborenen Sohnes, dem er ebenfalls unterhaltspflichtig ist. Er zahlte an die Kindesmutter monatlichen Unterhalt für M. in Höhe von 100 EUR. Die Unterhaltsvorschusskasse leistete für die Monate Juni und Juli 2016 Unterhaltsvorschuss für M. in Höhe von jeweils 45 EUR, für die Monate August bis Dezember 2016 von jeweils 94 EUR und für das Jahr 2017 von monatlich 101 EUR; bereits im September 2015 war der Antragsgegner von dem Antrag der Kindesmutter auf Unterhaltsvorschussleistungen in Kenntnis gesetzt und zur Auskunft über seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse aufgefordert worden.
[3] Bis zum Ende des Jahres 2016 betrug das monatliche Nettoeinkommen des Antragsgegners 1.440,62 EUR, im Jahr 2017 dann 1.465,82 EUR; die monatlichen Fahrtkosten zur Arbeit beliefen sich auf 61,56 EUR. Die Kindesmutter hatte im gesamten Zeitraum ein monatliches Nettoeinkommen aus einer Teilzeittätigkeit (25 Wochenstunden) von 1.015,99 EUR. Die Eltern des Antragsgegners (im Folgenden: Großeltern) hatten als Polizeibeamter bzw. Briefzustellerin der Deutschen Post monatliche Nettoeinkünfte von 3.473,09 EUR bzw. 2.248,87 EUR bei kurzem Arbeitsweg und keinen Schulden.
[4] Der Antragsteller hat als den 100 EUR übersteigenden Unterhaltsanspruch von M. für den streitgegenständlichen Zeitraum insgesamt 758,29 EUR errechnet und beim Amtsgericht beantragt, den Antragsgegner zur Zahlung dieses Betrags nebst Zinsen und Mahnkosten zu verpflichten. Der Antragsgegner hat eingewandt, er hafte angesichts der leistungsfähigen Großeltern nur bis zur Höhe des angemessenen Selbstbehalts, so dass er für einen über die erfolgten Unterhaltszahlungen hinausgehenden Unterhaltsanspruch nicht leistungsfähig sei. Das Amtsgericht hat dem Antrag in vollem Umfang entsprochen. Auf die Beschwerde des Antragsgegners hat das Oberlandesgericht diese Entscheidung abgeändert und den Antrag abgewiesen.
[5] Hiergegen wendet sich der Antragsteller mit der zugelassenen Rechtsbeschwerde, mit der er sein Zahlungsbegehren in vollem Umfang weiterverfolgt.
B. [6] Die Rechtsbeschwerde hat keinen Erfolg.
I. [7] Das Oberlandesgericht hat seine in FamRZ 2021, 932 veröffentlichte Entscheidung wie folgt begründet:
[8] Der Antragsgegner wäre bei Anwendung des notwendigen Selbstbehalts von seinerzeit 1.080 EUR im Jahr 2016 monatlich in Höhe von 299,06 EUR und im Jahr 2017 monatlich in Höhe von 324,26 EUR leistungsfähig. Unter Berücksichtigung der Unterhaltspflicht für seinen Sohn errechneten sich daher monatliche Unterhaltsansprüche von M. für Juni und Juli 2016 von jeweils 119,42 EUR, für August bis Dezember 2016 von jeweils 134,21 EUR und für das Jahr 2017 von jeweils 145,70 EUR. Gleichwohl sei er über die von ihm erbrachten Unterhaltsleistungen hinaus nicht zur Zahlung von weiterem Kindesunterhalt verpflichtet. Denn er könne gegenüber M. seinen angemessenen Selbstbehalt von seinerzeit 1.300 EUR verteidigen, indem er auf die Unterhaltspflicht der Großeltern väterlicherseits verweise. Die gesteigerte Unterhaltspflicht gegenüber minderjährigen Kindern gelte nicht, wenn ein anderer unterhaltspflichtiger Verwandter vorhanden sei. Dies seien hier die Großeltern, deren Ersatzhaftung nicht erst dann eintrete, wenn die Eltern den notwendigen Selbstbehalt unterschritten. Die Großeltern väterlicherseits könnten auch unter Berücksichtigung eines – wie beim Elternunterhalt – erhöhten Selbstbehalts von seinerzeit 1.800 EUR den Kindesunterhalt leisten.
[9] Das habe zwar zum Ergebnis, dass sie indirekt dem eigenen Kind Unterhalt trotz Ende der Unterhaltspflicht gewährten, indem sie es in Höhe der Differenz zwischen notwendigem und angemessenem Selbstbehalt entlasteten. Gleichwohl sei der Gesetzeswortlaut eindeutig, auch wenn im Ergebnis mangels Möglichkeit des Regresses gegen die Großeltern die öffentliche Hand an deren Stelle eintreten müsse. Auf die Frage, ob die Großeltern mütterlicherseits als weitere Verwandte im Sinne des § 1603 Abs. 2 S. 3 BGB in Betracht kommen würden, komme es nicht an. Denn für den Ausschluss der erweiterten Unterhaltsverpflichtung des Antragsgegners genüge es, wenn er mindestens einen anderen Unterhaltsverpflichteten nachweisen könne. Gleiches gelte für die Frage, ob die Kindesmutter eine weitere leistungsfähige Verwandte wäre, denn der Antragsgegner wolle nicht auf sie verweisen. Erst bei einer Inanspruchnahme der Großeltern selbst wäre zu prüfen, ob die Kindesmutter vorrangig verpflichtet sei. Dies sei im Übrigen auch nicht der Fall, denn sie sei selbst bei Zurechnung eines fiktiven Einkommens nicht leistungsfähig, weil sich bei unterstellter Vollzeittätigkeit ein bereinigtes anr...