II.
Die Revision ist begründet. Sie führt zur Aufhebung der Vorentscheidung und zur Zurückverweisung der Sache an das FG zur anderweitigen Verhandlung und Entscheidung (§ 126 Abs. 3 S. 1 Nr. 2 FGO). Zu Unrecht ist das FG davon ausgegangen, dass in jedem Fall nur die Kosten für das zeitlich zuerst errichtete Grabdenkmal nach § 10 Abs. 5 Nr. 3 S. 1 ErbStG zum Abzug zuzulassen sind. Ob und in welcher Höhe die Kosten für das zweite Grabdenkmal im Streitfall abziehbar sind, vermag der Senat auf Grundlage der Feststellungen des FG nicht zu beurteilen.
1. Bei einem Erwerb von Todes wegen nach § 3 Abs. 1 Nr. 1 ErbStG – wie im Streitfall – gilt als Bereicherung der Betrag, der sich ergibt, wenn von dem nach § 12 ErbStG zu ermittelnden Wert des gesamten Vermögensanfalls, soweit er der Besteuerung nach dem ErbStG unterliegt, die nach § 20 Abs. 3–9 ErbStG abzugsfähigen Nachlassverbindlichkeiten abgezogen werden (§ 10 Abs. 1 S. 2 ErbStG, vgl. BFH, Urt. v. 22.1.2020 – II R 41/17, BFHE 267, 460, BStBl II 2020, 459, Rn 20).
2. Die vom Erblasser herrührenden Schulden sind nach § 10 Abs. 5 Nr. 1 ErbStG als Nachlassverbindlichkeiten abzugsfähig. Dies sind nur die aus Rechtsgründen bestehenden Erblasserschulden (BFH, Urt. v. 11.7.2019 – II R 4/17, BFHE 265, 447, BStBl II 2020, 319, Rn 26; BFH, Beschl. v. 26.2.2014 – II B 125/13, BFH/NV 2014, 699, Rn 5, m.w.N.). Darunter fallen alle vertraglichen, außervertraglichen und gesetzlichen Verpflichtungen, die in der Person des Erblassers begründet worden und mit seinem Tod nicht erloschen sind bzw. kraft § 10 Abs. 3 ErbStG als nicht erloschen gelten (BFH BFHE 265, 447, BStBl II 2020, 319, Rn 26, m.w.N.).
a) Grundsätzlich kann somit auch eine aus einem Vertrag mit dem Erben resultierende Verbindlichkeit des Erblassers Nachlassverbindlichkeit i.S.d. § 10 Abs. 5 Nr. 1 ErbStG sein, denn die infolge des Anfalls durch Vereinigung von Recht und Verbindlichkeit oder von Recht und Belastung erloschenen Rechtsverhältnisse gelten als nicht erloschen (§ 10 Abs. 3 ErbStG).
b) Ein solcher Vertrag kann auch ein noch zu Lebzeiten des Erblassers zwischen diesem und dem Erben abgeschlossener (entgeltlicher) Geschäftsbesorgungsvertrag (§ 675 BGB) oder ein (unentgeltlicher) Auftrag i.S.v. § 662 BGB sein, aufgrund dessen der Erbe einen Anspruch auf Ersatz von Aufwendungen (§ 670 BGB) oder auf Leistung eines Vorschusses für die zur Ausführung der Geschäftsbesorgung entstandenen Aufwendungen (§ 669 BGB) erworben hat (vgl. BFH, Urt. v. 28.6.1995 – II R 80/94, BFHE 178, 218, BStBl II 1995, 784, unter II.1.), oder auch ein Dienstvertrag, der dem Erben entsprechende Ansprüche verschafft (vgl. dazu BFH, Urt. v. 9.11.1994 – II R 111/91, BFH/NV 1995, 598, unter II.3.a; BFH BFH/NV 2014, 699, Rn 6).
Die entsprechenden Verbindlichkeiten können jedoch nicht dadurch begründet werden, dass sich der Erbe erst auf den Tod des Erblassers zur Ausführung des Auftrags verpflichtet. Zwar existieren auch Auftragsverhältnisse zugunsten eines Dritten durch einen unter Lebenden abgeschlossenen Vertrag, der erst nach dem Tod des Auftraggebers auszuführen ist (vgl. dazu BGH, Urt. v. 30.10.1974 – IV ZR 172/73, NJW1975, 382). Ein lediglich zweiseitiges Auftragsverhältnis zwischen dem Erblasser und dem Erben genügt jedoch nicht.
Die Besorgung eines Geschäfts für einen anderen setzt voraus, dass der Geschäftsführer zum Zwecke der Geschäftsbesorgung "Aufwendungen macht". Bei der Erbringung jeder einzelnen Aufwendung muss außerdem der Fremdgeschäftsführungswille des Geschäftsführers (noch) vorhanden sein, da bei dessen Aufgabe das Auftragsverhältnis bzw. das Rechtsverhältnis der auftragslosen Geschäftsführung entfällt (vgl. BGH, Urt. v. 5.7.2018 – III ZR 273/16, NJW 2018, 2714, Rn 28). Es muss daher eine Tätigkeit ausgeübt werden, die an sich der Sorge des anderen obliegen würde und durch die dessen Interesse gefördert wird (BGH, Urt. v. 17.5.1971 – VII ZR 146/69, BGHZ 56, 204, unter I.2., und BGH, Urt. v. 21.6.2012 – III ZR 291/11, NJW 2012, 3366, Rn 12). Dies ist nach dem Tod des Auftraggebers trotz der Auslegungsregel des § 672BGB nicht der Fall, wenn der Erbe als Rechtsnachfolger des Auftraggebers mit dem Auftragnehmer personenidentisch ist und keine Tätigkeit im fremden Interesse mehr ausübt. Für eigene Geschäfte sehen §§ 669, 670 BGB einen Anspruch auf Leistung eines Vorschusses für die zur Ausführung der Geschäftsbesorgung entstandenen Aufwendungen oder einen Aufwendungsersatzanspruch nicht vor.
§ 10 Abs. 3 ErbStG ändert hieran nichts. Diese Vorschrift fingiert für erbschaftsteuerliche Zwecke den Fortbestand von Rechten, Pflichten oder Rechtsverhältnissen, ersetzt aber nicht diejenigen Tatbestandsvoraussetzungen, die das Zivilrecht für die jeweiligen Ansprüche und Verbindlichkeiten vorsieht.
c) Leistungen des Erben, die dieser aufgrund einer von ihm angenommenen moralischen Verpflichtung erbringt, sind nicht gem. § 10 Abs. 5 Nr. 1 ErbStG als Nachlassverbindlichkeiten abziehbar (BFH, Urt. v. 15.6.1988 – II R 165/85, BFHE 154, 380, BStBl II 1...