Die Interne Zinsfußmethode stellt eine in der Praxis beliebte Methode zur Investitionsbeurteilung dar. Dabei greift dieses Verfahren auf den Kapitalwert zurück. Der Kapitalwert berechnet sich aus der Diskontierung zukünftiger Zahlungsströme mit dem Kalkulationszinssatz:
| mit: |
Rt |
= |
Einzahlungsüberschuss der Periode t |
| |
I0 |
= |
Investitionsbetrag |
| |
i |
= |
Kalkulationszinssatz |
| |
n |
= |
Investitionsdauer |
Der Interne Zinssatz iIZM ist als derjenige Diskontierungszinssatz definiert,
- bei dem der Barwert der Investitionsrückflüsse zuzüglich des Barwertes des Liquidationserlöses gleich dem Barwert der Investitionsausgaben ist, oder anders formuliert,
- bei dem sich ein Kapitalwert von null ergibt.
Die mathematische Aufgabenstellung bei der Bestimmung des Internen Zinsfußes besteht also darin, die Nullstelle der Kapitalwertfunktion zu ermitteln:
Diese Kapitalwertgleichung stellt bei einer Investitionsdauer von n Jahren ein Polynom n-ten Grades dar, womit sich die exakte Berechnung des Internen Zinsfußes deutlich erschwert. Dies gilt jedoch nicht für die Spezialfälle des Zweizahlungsfalls, einer Zahlungsreihe mit 2 Jahren Laufzeit und einer Zahlungsreihe mit jährlich konstanten Rückflüssen.
Zweizahlungsfall
Der Zweizahlungsfall ist dadurch gekennzeichnet, dass es neben der Investitionsausgabe zum Zeitpunkt t = 0 nur noch zu einer Einzahlung zum Zeitpunkt t = n kommt. Zu zwischenzeitlichen Ein- oder Auszahlungen kommt es nicht. In einem solchen Fall besitzt die Kapitalwertgleichung folgendes Aussehen:
Die Umformung dieser Gleichung führt zur Berechnungsvorschrift für den Internen Zinsfuß im Zweizahlungsfall:
Ein typisches Beispiel für einen Zweizahlungsfall stellen Zerobonds dar. Bei einem Zerobond handelt es sich um einen Finanztitel, bei dem nur 2 Zahlungen auftreten: eine zum Zeitpunkt t = 0 und eine zum Ende der Laufzeit. Zwischenzeitliche Zinszahlungen existieren nicht, denn die Zinsen werden jeweils dem Kapital zugeschlagen und verzinsen sich in der Folge mit. Die Rückzahlung am Ende der Laufzeit beinhaltet somit sowohl die Tilgung des Kapitals als auch die Zinsen inklusive Zinseszinsen.
Berechnung des Internen Zinssatzes im Zweizahlungsfall
Nachfolgender Zerobond ist derzeit zu einem Wert von 20 EUR erhältlich und ist nach 20 Jahren zu einem Wert von 100 EUR zurückzuzahlen. Der Interne Zinssatz dieses Zerobonds lässt sich exakt berechen und beträgt 8,38 %:
Weitere Beispiele für einen Zweizahlungsfall stellen typischerweise auch Investitionen in Grundstücke, Edelmetalle oder Kunstwerke dar.
Zahlungsreihe mit konstanten Rückflüssen
Ein weiterer Spezialfall, bei dem eine exakte Ermittlung des Internen Zinsfußes möglich ist, liegt bei Investitionen mit jährlich konstanten Rückflüssen vor. Unter Einsatz des Rentenbarwertfaktors ermittelt sich der Kapitalwert bei konstanten Rückflüssen R gemäß folgender Formel:
mit:
Zwar kann aus dieser Gleichung der Interne Zinssatz nicht direkt berechnet werden, allerdings kann ermittelt werden, welchen Wert der Rentenbarwertfaktor annehmen muss:
Da die Investitionsdauer n bekannt ist, kann der Wert des Zinssatzes einer hinreichend differenzierten Tabelle von Rentenbarwertfaktoren entnommen werden.
Berechnung des Internen Zinssatzes bei jährlich konstanten Rückflüssen
Führt beispielsweise eine Anschaffungsauszahlung von 52.000 EUR in den folgenden 4 Jahren jeweils zu Einzahlungsüberschüssen von 20.000 EUR, dann beläuft sich der Rentenbarwertfaktor auf 2,6:
In Tab. 1 sind verschiedene Rentenbarwertfaktoren in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz und der Laufzeit angegeben. Von dem Investitionsprojekt ist bekannt, dass es eine Laufzeit von 4 Jahren besitzt. In der entsprechenden Zeile ist der Rentenbarwertfaktor von 2,6 zu suchen. Dieser Wert findet sich in etwa bei einem Kalkulationszinssatz von 20 %, d. h. der Interne Zinsfuß der Zahlungsreihe beläuft sich auf ca. 20 %.
| |
|
Kalkulationszinssatz |
| |
|
5 % |
10 % |
15 % |
20 % |
25 % |
30 % |
| Laufzeit |
1 Jahr |
0,952 |
0,909 |
0,870 |
0,833 |
0,800 |
0,769 |
| 2 Jahre |
1,859 |
1,736 |
1,626 |
1,528 |
1,440 |
1,361 |
| 3 Jahre |
2,723 |
2,487 |
2,283 |
2,106 |
1,952 |
1,816 |
| 4 Jahre |
3,546 |
3,170 |
2,855 |
2,589 |
2,362 |
2,166 |
| 5 Jahre |
4,329 |
3,791 |
3,352 |
2,991 |
2,689 |
2,436 |
Tab. 1: Tabelle der Rentenbarwertfaktoren
Zahlungsreihen mit maximal 2 Jahren Laufzeit
Ein weiterer Spezialfall, bei dem eine mathematisch exakte Berechnung des Internen Zinsfußes möglich ist, liegt bei Zahlungsreihen vor, die sich lediglich über 2 Jahre erstrecken. In einem solchen Fall ist die folgende Gleichung zu lösen:
Hierbei handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Wird der Term 1/(1+i) durch x ersetzt, so folgt daraus:
Gemäß der "p-q-Formel" ergibt sich:
Die Lösung mit dem Minuszeichen vor der Quadratwurzel führt grundsätzlich zu einer negativen Lösung und ist somit ökonomisch nicht sinnvoll. Des Weiteren ist noch x durch 1/(1+i) zu ersetzen. Die Gleichung für den Internen Zinsfuß lautet dann wie folgt:
Berechnung des Internen Zinssatzes bei Zahlungsreihen mit 2 Jahren Laufzeit
Als Beispiel sei die Inve...