Die sofortige Beschwerde ist gem. § 85 FamFG, §§ 104 Abs. 3, 567 Abs. 1 ZPO statthaft und auch i.Ü. zulässig; insbesondere wurde sie form- und fristgerecht eingelegt und der Beschwerdewert ist erreicht (§§ 567 Abs. 2, 569 ZPO).
In der Sache hat das Rechtsmittel jedoch keinen Erfolg. Weil der Verfahrensbevollmächtigte des Beschwerdegegners über bloße Abwicklungstätigkeiten der ersten Instanz in der zweiten Instanz tätig geworden ist, sind dem Beschwerdegegner Kosten entstanden, die ihm nach der Kostengrundentscheidung des Senats durch die Beschwerdeführerin zu ersetzen sind und der Höhe nach zutreffend festgesetzt wurden.
Im Einzelnen:
Die Beschwerdeführerin hat nach der Entscheidung des Senats v. 31.1.2019 die dem Beschwerdegegner im Beschwerdeverfahren entstandenen Kosten zu tragen. Der Kostenerstattungsanspruch besteht nur insoweit, wie dem Beschwerdegegner im Beschwerdeverfahren überhaupt Kosten entstanden sind. Voraussetzung dafür ist, dass der Beschwerdegegner seinem Verfahrensbevollmächtigten gegenüber zur Zahlung der in Rechnung gestellten Kosten verpflichtet ist, was sich nach den Vorschriften des RVG richtet. Der im Beschwerdeverfahren tätige Rechtsanwalt erhält eine Verfahrensgebühr für das "Betreiben des Geschäfts" (Vorbem. 3 Abs. 2 VV). Abzugrenzen ist dieses Betreiben des Geschäfts der Beschwerdeinstanz von Neben- und Abwicklungstätigkeiten des Verfahrens der ersten Instanz. Dazu gehören nach § 19 Abs. 1 S. 2 Nr. 9 RVG die Zustellung oder Empfangnahme von Entscheidungen oder Rechtsmittelschriften und ihre Mitteilung an den Auftraggeber (vgl. BGH NJW 2013, 312 [= AGS 2013, 7]).
Wird der Verfahrensbevollmächtigte aber in irgendeiner Weise über diese Neben- und Abwicklungstätigkeiten des Verfahrens der ersten Instanz im hinaus im Rahmen der Erfüllung seines zweitinstanzlichen Auftrags tätig, entsteht eine Gebühr für das Beschwerdeverfahren (BGH NJW 2013, 312, Rn 11).
Für das Entstehen der ermäßigten Verfahrensgebühr gem. Nr. 3201 VV ist ein Auftreten des Verfahrensbevollmächtigten gegenüber dem Gericht – anders als für die volle Verfahrensgebühr gem. Nr. 3200 VV – nicht erforderlich; dies folgt bereits aus dem Gesetzeswortlaut der Nr. 3201 Nr. 1 VV (vgl. auch BGH NJW 2013, 312 [= AGS 2013, 7]; BGH NJW 2005, 2233 [= AGS 2005, 413]). Das Betreiben des Geschäfts der zweiten Instanz kann sich beispielsweise auf eine Beratung des Mandanten oder auf die Beschaffung von Informationen beschränken; bereits geringfügige Tätigkeiten des Verfahrensbevollmächtigten, die in irgendeiner Weise der Durchführung des Verfahrens dienen, erfüllen die Voraussetzungen für eine Verfahrensgebühr (vgl. OLG Karlsruhe FamRZ 2009, 2025 [= AGS 2010, 170]).
Vorliegend hat der Verfahrensbevollmächtigte des Beschwerdegegners anwaltlich versichert, dass er nicht nur die amtsgerichtliche Entscheidung entgegen genommen und dem Beschwerdegegner kommuniziert hat (was als bloße Abwicklungstätigkeit des Verfahrens der ersten Instanz zu bewerten wäre und keine Gebühren für das Betreiben des Verfahrens zweiter Instanz auslöst), sondern auch, dass der Mandant über das weitere Verfahrensprozedere des Verfahrens zweiter Instanz informiert wurde. Diese Beratung und Information des Mandanten geht über bloße erstinstanzliche Abwicklungstätigkeit hinaus, insbesondere, da in Verfahren der freiwilligen Gerichtsbarkeit (anders als in Ehe- und Familienstreitsachen) kein Begründungszwang für die Beschwerde gilt, dessen Nichteinhaltung ohne inhaltliche Prüfung zur Unzulässigkeit der Beschwerde führen würde (vgl. BGH NJW 2014, 557 [= AGS 2014, 95]) und das Gericht in Verfahren der freiwilligen Gerichtsbarkeit auch ohne Begründung des Rechtsmittels bei zulässiger Beschwerde in der Sache neu entscheiden muss (vgl. zu den Erstattungsfolgen Gerold/Schmidt/Müller-Rabe, RVG, 24. Aufl., 2019, § 19 Rn 91).
Diese zusätzliche anwaltliche Tätigkeit steht trotz des einfachen Bestreitens der Gegenseite mit überwiegender Wahrscheinlichkeit (vgl. zu dem Beweismaß im Kostenfestsetzungsverfahren BGH NJW 2007, 2493 [= AGS 2007, 322) fest aufgrund der anwaltlichen Versicherung der Verfahrensbevollmächtigten des Beschwerdegegners, die im Beweiswert einer eidesstattlichen Versicherung zumindest gleichsteht (vgl. Saenger, ZPO, 8. Aufl., 2019, § 294 Rn 6), weil ein solches Vorgehen auch dem üblichen Verlauf der anwaltlichen Tätigkeit nach Beschwerdeeinlegung entspricht.
Die Kostenentscheidung beruht auf § 84 FamFG. Eine Wertfestsetzung von Amts wegen war entbehrlich, da keine wertabhängigen Gerichtsgebühren, sondern eine Festgebühr anfällt (Nr. 1912 FamGKG-KostVerz.).