III. 1. Die sofortige Beschwerde ist zulässig (§§ 99 Abs. 2, 567 ff. ZPO).
Ist die Hauptsache durch eine aufgrund eines Anerkenntnisses ausgesprochene Verurteilung erledigt, so findet gegen die Kostenentscheidung die sofortige Beschwerde statt (§ 99 Abs. 2 ZPO). Dieser Fall liegt hier vor, denn es ist ein Anerkenntnisurteil hinsichtlich der Hauptsache ergangen. Darauf, ob eine Entscheidung durch Anerkenntnisurteil zulässig war, kommt es nicht an (richtigerweise hätte nach der Bezahlung des Hauptsachebetrages am 18.7.2019 die Hauptsache übereinstimmend für erledigt erklärt werden müssen). Die nach § 567 Abs. 2 ZPO erforderliche Kostenbeschwer i.H.v. mindestens 200,00 EUR ist erreicht. Die sofortige Beschwerde wurde form- und fristgerecht eingelegt (§ 569 ZPO) und richtet sich gegen den auf dem Anerkenntnis beruhenden Teil der Kostenentscheidung.
2. In der Sache ist die sofortige Beschwerde begründet. Die Entscheidung des LG, dem Kläger in Anwendung des § 93 ZPO die Kosten des Verfahrens aufzuerlegen, hält rechtlicher Überprüfung nicht stand.
a) Die Frage, ob es sich bei einem im Verlauf eines durch eine Stufenklage eingeleiteten Rechtsstreits abgegebenem Anerkenntnis durch die Beklagtenseite um ein "sofortiges" i.S.d. § 93 ZPO handelt, insbesondere ob hierbei auf die Erhebung der Stufenklage als solcher oder auf die jeweilige Stufe abzustellen ist, wird in der Rspr. uneinheitlich beantwortet.
aa) Nach einer in Teilen der Rspr. und Lit. vertretenen Auffassung ist bei Anerkenntnissen im Rahmen von Stufenklagen die Prüfung nach § 93 ZPO für jede Stufe gesondert vorzunehmen (vgl. Zöller-Herget, ZPO, 33. Aufl., § 93 ZPO Rn 6.39 "Stufenklage"). Danach hat ein Kläger, der innerhalb einer rechtshängigen Stufenklage nach der Auskunftserteilung durch den Beklagten unmittelbar den bezifferten Zahlungsanspruch gerichtlich geltend macht, ohne den Beklagten zunächst außerprozessual zur Zahlung aufgefordert zu haben, bei sofortigem Anerkenntnis des Beklagten die darauf entfallenden Verfahrenskosten selbst zu tragen, da der Beklagte insoweit keinen Anlass zur Klageerhebung gegeben hat (vgl. OLG Köln, Beschl. v. 27.3.2009 – 2 W 28/09, juris Rn 4, 5, zur Stufenklage eines Pflichtteilsberechtigten; OLG Bamberg, Beschl. v. 2.9.1988 – 7 WF 83/88, betreffend eine Unterhaltssache; OLG München, Beschl. v. 31.3.1992 – WF 549/92).
bb) Demgegenüber stellen Teile der Rspr. auf das vorprozessuale Verhalten eines Beklagten ab. Danach gibt eine Partei Anlass zur Erhebung einer Stufenklage, wenn ihr Verhalten vor dem Prozess aus Sicht des Klägers bei vernünftiger Betrachtung hinreichenden Anlass zu der Annahme bietet, er werde ohne Inanspruchnahme der Gerichte nicht zu seinem Recht kommen. Das ist etwa der Fall, wenn die beklagte Partei vorprozessual trotz Vorlage entsprechender Legitimationspapiere zum Nachweis der Pflichtteilsberechtigung und wiederholter Aufforderung zur Auskunftserteilung keine Auskunft erteilt hat (vgl. OLG Dresden, Beschl. v. 11.10.2013 – 17 W 844/13, juris Rn 8) oder ein Unterhaltsschuldner in einem vorgerichtlichen Schreiben jegliche Unterhaltsansprüche ablehnt. Erkennt ein solcher Beklagter nach erteilter Auskunft und Bezifferung des Leistungsantrags seine Unterhaltsverpflichtung an, liegt kein sofortiges Anerkenntnis i.S.d. § 93 ZPO vor, denn bereits mit Zustellung des Stufenantrags sind sämtliche Stufen einschließlich der Zahlungsstufe rechtshängig geworden (vgl. OLG Hamm, Beschl. v. 6.7.2015 – 14 WF 123/15).
b) Der Senat schließt sich der letztgenannten Auffassung an.
Nach der Rspr. des BGH kommt es für die Entscheidung der Frage, ob ein Beklagter Veranlassung zur Klage gegeben hat, auf sein Verhalten vor Prozessbeginn an (Thomas/Putzo, ZPO, 40. Aufl., 2019, § 93 ZPO Rn 4, 5; Zöller, a.a.O., § 93 Rn 3; BGH, Urt. v. 27.6.1979 – VIII ZR 233/78; BGH, Beschl. v. 8.3.2005 – VIII ZB 3/04, NJW-RR 2005, 1005).
Der in der Rspr. und der Lit. vertretenen Auffassung, auch aus dem Verhalten eines Beklagten während des Prozesses könne rückschauend ein Anlass zur Klageerhebung bejaht werden, auch wenn ein solcher bei Erhebung der Klage noch nicht vorgelegen habe, ein Klageanlass könne also "nachwachsen", ist der BGH nicht gefolgt. Mit dieser BGH-Rspr., die zwar nicht zur Problematik bei der Stufenklage ergangen ist, erscheint im Umkehrschluss die oben dargestellte obergerichtliche Rspr., die eine Anwendung des § 93 ZPO für jede Stufe einer Stufenlage bejaht, nicht vereinbar. Darüber hinaus lagen diesen Entscheidungen besondere Fallkonstellationen zugrunde, weshalb ihnen keine über den Einzelfall hinausgehende Geltung beigemessen werden kann. So betraf die Entscheidung des OLG Bamberg v. 2.9.1988 (7 WF 83/88) den von den Besonderheiten des Familienrechts geprägten Fall, dass einem Unterhaltsverpflichteten, der bereits freiwillig Unterhalt leistete, vor Aufruf der Leistungsstufe keine Gelegenheit gegeben wurde, einen vollstreckbaren Titel bezüglich des Unterhaltsanspruchs errichten zu lassen. Der Entscheidung des OLG Köln v. 27.3.2009 (2...